Число навіщо дорівнює. Коротка історія числа пі. Новий погляд на Пі

З тих пір, як у людей з'явилася можливість вважати і вони почали досліджувати властивості абстрактних об'єктів, званих числами, покоління допитливих розумів робили відкриття, що зачаровують. У міру того, як наші знання про числа збільшувалися, деякі з них привертали особливу увагу, а деяким навіть надавали містичних значень. Був , Що означає нічого, і який при множенні на будь-яке число дає себе. Була, насамперед, також володіє рідкісними властивостями, прості числа. Потім виявили, що існують числа, які не є цілими, а іноді виходять в результаті розподілу двох цілих чисел — раціональні числа. Ірраціональні числа, які можуть бути отримані як ставлення цілих чисел, тощо. Але якщо є число, яке зачарувало і викликало написання маси праць, то це (пі). Число, яке, незважаючи на довгу історію, не називали так, як ми називаємо його сьогодні, до вісімнадцятого століття.

початок

Число пі виходить розподілом довжини кола на його діаметр. При цьому розмір кола не важливий. Велика або маленька, відношення довжини до діаметра те саме. Хоча цілком ймовірно, що ця властивість була відома раніше, найперші свідчення про це знання - Московський математичний папірус 1850 до н.е. і папірус Ахмеса 1650 до н.е. (хоча це копія старішого документа). У ньому є велика кількість математичних завдань, у деяких з яких наближається як , Що трохи більше ніж на 0,6% відрізняється від точного значення. Приблизно в цей же час вавилоняни вважали рівним. У Старому Завіті, написаному більше десяти століть, Яхве не ускладнює життя і божественним указом встановлює, що точно .

Однак великими дослідниками цього числа були древні греки, такі як Анаксагор, Гіппократ з Хіоса та Антіфон з Афін. Раніше значення визначалося майже напевно за допомогою експериментальних вимірювань. Архімед був першим, хто зрозумів, як теоретично оцінити його значення. Використання описаного та вписаного багатокутників (більший описаний біля кола, в яке вписаний менший) дозволило визначити, що більше і менше. За допомогою методу Архімеда інші математики отримали кращі наближення, і вже в 480 р. Цзу Чунчжі визначив, що значення між і . Проте метод багатокутників вимагає багато обчислень (нагадаємо, що все робилося вручну і не в сучасної системи(числення), так що у нього не було майбутнього.

Уявлення

Потрібно було дочекатися XVII століття, коли з відкриттям нескінченного ряду відбулася революція у обчисленні, хоча перший результат не був поруч, це був твір. Нескінченні ряди - це суми нескінченного числа членів, що утворюють деяку послідовність (наприклад, усі числа виду , де набуває значення від до нескінченності). У багатьох випадках сума є кінцевою і може бути знайдена різними методами. Виявляється, що деякі з цих рядів сходяться до деякої величини, що має відношення до . Для того щоб ряд сходився, необхідно (але не достатньо), щоб зі зростанням сумуються величини прагнули до нуля. Таким чином, що більше чисел ми складаємо, то точніше ми отримуємо значення . Тепер у нас є дві можливості отримання більш точного значення. Або скласти більше чисел, або знайти інший ряд, що сходиться швидше, щоб складати меншу кількість чисел.

Завдяки цьому новому підходу точність обчислення різко зросла, і в 1873 Вільям Шенкс опублікував результат багаторічної роботи, навівши значення з 707 десятковими знаками. На щастя, він не дожив до 1945 року, коли виявили, що він зробив помилку і всі цифри, починаючи з , були неправильними. Проте його підхід був найбільш точним до появи комп'ютерів. Це була передостання революція у обчисленні. Математичні операції, які при виконанні їх вручну займають кілька хвилин, в даний час виконуються в секунди, причому помилки практично виключені. Джону Ренчу та Л. Р. Сміту вдалося вирахувати 2000 цифр за 70 годин на першому електронному комп'ютері. Бар'єр у мільйон цифр було досягнуто 1973 року.

Останнє (на даний момент) досягнення у обчисленні - відкриття ітераційних алгоритмів, які сходяться до швидше, ніж нескінченні ряди, тому можна досягти набагато вищої точності при тій же обчислювальній потужності. Поточний рекорд становить трохи більше 10 трлн вірних цифр. Навіщо так точно обчислювати ? Враховуючи, що, знаючи 39 цифр цього числа, можна обчислити обсяг відомого Всесвіту з точністю до атома, нема за що... поки.

Деякі цікаві факти

Однак обчислення значення є лише малою частиною його історії. Це число має властивості, завдяки яким ця константа настільки цікава.

Можливо, найбільшою проблемою, пов'язаною з , є відома задача про квадратуру кола, завдання про побудову за допомогою циркуля та лінійки квадрата, площа якого дорівнює площі даного кола. Квадратура кола мучила покоління математиків протягом двадцяти чотирьох століть, доки фон Ліндеман не довів, що трансцендентне число(воно не є рішенням жодного поліноміального рівняння з раціональними коефіцієнтами) і, отже, неможливо осягнути неосяжне. До 1761 не було доведено, що число ірраціональне, тобто що не існує двох натуральних чиселі таких, що . Трансцендентність була доведена до 1882 року, проте поки що невідомо, чи є числа чи ( — це ще одне ірраціональне трансцендентне число) ірраціональними. З'являється багато співвідношень, які пов'язані з колами. Це частина коефіцієнта нормалізації нормальної функції, мабуть, найбільш широко використовується у статистиці. Як уже згадувалося раніше, число з'являється як сума багатьох рядів і одно нескінченним творам, воно важливе і при вивченні комплексних чисел. У фізиці його можна знайти (залежно від застосовуваної системи одиниць) у космологічній постійній (найбільша помилка Альберта Ейнштейна) чи константі постійного магнітного поля. У системі числення з будь-якою основою (у десятковій, двійковій…) цифри проходять всі тести на випадковість, не спостерігається жодного порядку чи послідовності. Дзета-функція Рімана тісно пов'язує число із простими числами. Це число має довгу історію і, напевно, досі зберігає безліч сюрпризів.

ЧИСЛО p - Відношення довжини кола до її діаметра, - Величина постійна і не залежить від розмірів кола. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою літерою 241 (від "perijereia" - коло, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ейлера, що відноситься до 1736, проте вперше воно було вжито Вільямом Джонсом (1675-1749) в 1706. Як і всяке ірраціональне число, воно є нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

p= 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що стосуються кіл і круглих тіл, змусили вже в давнину шукати для 241 наближень за допомогою раціональних чисел. Відомості про те, що коло рівно втричі довше за діаметр, знаходяться в клинописних табличках Стародавнього Міжріччя. Таке ж значення числа pє й у тексті Біблії: «І зробив лите з міді море, – від краю до краю його десять ліктів, – зовсім кругле, висотою п'ять ліктів, і снурок тридцять ліктів обіймав його навколо» (3 Цар. 7. 23). Також вважали і давні китайці. Але вже у 2 тис. до н. стародавні єгиптяни користувалися більш точним значенням числа 241, яке виходить із формули для площі кола діаметра d:

Цьому правилу з 50-го завдання папірусу Райнда відповідає значення 4 (8/9) 2 » 3,1605. Папірус Райнда, знайдений в 1858, названий так на ім'я його першого власника, його переписав переписувач Ахмес близько 1650 до н.е. до н.е. Хоча як єгиптяни отримали саму формулу, з контексту неясно. У так званому Московському папірусі, який був переписаний якимсь учнем між 1800 та 1600 до н.е. з більш давнього тексту, приблизно 1900 р. до н.е., є ще одна цікаве завданняпро обчислення поверхні кошика «з отвором 4½». Невідомо, якої форми був кошик, але всі дослідники сходяться на думці, що і тут для числа pбереться те саме наближене значення 4(8/9) 2 .

Щоб зрозуміти, яким чином древні вчені отримали той чи інший результат, потрібно спробувати вирішити завдання, використовуючи лише знання та прийоми тогочасного обчислення. Саме так чинять дослідники старовинних текстів, проте рішення, які їм вдається знайти, зовсім не обов'язково «ті самі». Дуже часто для одного завдання пропонується кілька варіантів вирішення, кожен може вибрати собі до смаку, проте ніхто не може стверджувати, що саме ним користувалися в давнину. Щодо площі кола видається правдоподібною гіпотеза А.Е.Раїк, автора численних книг з історії математики: площа кола діаметра dпорівнюється з площею описаного навколо нього квадрата, з якого по черзі видаляються малі квадрати зі сторонами (рис. 1). У наших позначеннях обчислення виглядатимуть так: у першому наближенні площа кола Sдорівнює різниці між площею квадрата зі стороною dта сумарною площею чотирьох малих квадратів Азі стороною d:

На користь цієї гіпотези свідчать аналогічні обчислення в одному із завдань Московського папірусу, де пропонується порахувати

З 6 ст. до н.е. математика стрімко розвивалася в Стародавню Грецію. Саме давньогрецькі геометри суворо довели, що довжина кола пропорційна її діаметру. l = 2p R; R- Радіус кола, l –її довжина), а площа кола дорівнює половині добутку довжини кола та радіусу:

S = ½ l R = p R 2 .

Ці докази приписують Євдоксу Кнідському та Архімеду.

У 3 ст. до н.е. Архімед у творі Про вимір колаобчислив периметри вписаних у коло та описаних біля неї правильних багатокутників (рис. 2) – від 6 до 96-кутника. Таким чином він встановив, що число pзнаходиться між 3 10/71 та 3 1/7, тобто. 3,14084< p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p»3,14166) знайшов знаменитий астроном, творець тригонометрії Клавдій Птолемей (2 в.), але воно не увійшло у вжиток.

Індійці та араби вважали, що p=. Це значення наводить також і індійський математик Брахмагупта (598 – бл. 660). У Китаї вчені у 3 ст. використовували значення 3 7/50, яке гірше наближення Архімеда, але в другій половині 5 ст. Цзу Чун Чжі (бл. 430 – бл. 501) отримав для pнаближення 355/113 ( p»3,1415927). Воно залишилося невідомо європейцям і було знайдено нідерландським математиком Адріаном Антонісом тільки в 1585. Це наближення дає помилку лише в сьомому десятковому знаку.

Пошуки більш точного наближення pпродовжувалися і надалі. Наприклад, аль-Каші (перша половина 15 ст.) Трактат про коло(1427) обчислив 17 десяткових знаків p. У Європі таке саме значення було знайдено у 1597 році. Для цього йому довелося обчислювати бік правильного 800335168-кутника. Нідерландський вчений Лудольф Ван Цейлен (1540-1610) знайшов для нього 32 правильних десяткових знаки (опубліковано посмертно в 1615), це наближення називається лудольфовим числом.

Число pз'являється не тільки при вирішенні геометричних завдань. З часу Ф.Вієта (1540-1603) розшук меж деяких арифметичних послідовностей, складених за простими законами, призводило до того ж числа p. У зв'язку з цим у визначенні числа pбрали участь майже всі відомі математики: Ф.Вієт, Х.Гюйгенс, Дж.Валліс, Г.В.Лейбніц, Л.Ейлер. Вони отримували різні виразидля 241 у вигляді нескінченного твору, суми ряду, нескінченного дробу.

Наприклад, у 1593 Ф.Вієт (1540–1603) вивів формулу

У 1658 англієць Вільям Броункер (1620-1684) знайшов уявлення числа pу вигляді нескінченного безперервного дробу

проте невідомо, як він дійшов цього результату.

У 1665 році Джон Валліс (1616–1703) довів, що

Ця формула має його ім'я. Для практичного знаходження числа 241 вона мало придатна, але корисна у різних теоретичних міркуваннях. В історію науки вона увійшла як один із перших прикладів нескінченних творів.

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) в 1673 встановив таку формулу:

число, що виражає p/4 як суму низки. Однак цей ряд сходить дуже повільно. Щоб обчислити pз точністю до десяти знаків, знадобилося б, як показав Ісаак Ньютон, знайти суму 5 млрд чисел і витратити на це близько тисячі років безперервної роботи.

Лондонський математик Джон Мечін (1680–1751) у 1706, застосовуючи формулу

отримав вираз

яка досі вважається однією з найкращих для наближеного обчислення p. Щоб знайти ті ж десять точних десяткових знаків, знадобиться лише кілька годин ручного рахунку. Сам Джон Мечін вирахував pзі 100 вірними знаками.

За допомогою того ж ряду для arctg xта формули

значення числа pбуло отримано на ЕОМ із точністю до ста тисяч десяткових знаків. Такі обчислення становлять інтерес у зв'язку з поняттям випадкових і псевдовипадкових чисел. Статистична обробка впорядкованої сукупності зазначеної кількості знаків pпоказує, що вона має багато рис випадкової послідовності.

Є кілька кумедних способів запам'ятати число pточніше, ніж просто 3,14. Наприклад, вивчивши наступне чотиривірш, можна легко назвати сім десяткових знаків p:

Потрібно лише постаратися

І запам'ятати все як є:

Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'яносто два та шість.

(С.Бобров Чарівний дворіг)

Підрахунок кількості букв у кожному слові наступних фраз також дає значення числа p:

«Що я знаю про кола?» ( p»3,1416). Цю приказку запропонував Я.І.Перельман.

«Ось і знаю я число, яке зветься Пі. - Молодець!» ( p»3,1415927).

«Вчи і знай у числі відомому за цифрою цифру, як удачу помічати» ( p»3,14159265359).

Вчитель однієї з московських шкіл вигадав рядок: «Це я знаю і пам'ятаю чудово», а його учениця написала кумедне продовження: «Пи багато знаків мені зайві, марні». Це двовірш дозволяє визначити 12 цифр.

А так виглядає 101 знак числа pбез заокруглення

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Нині з допомогою ЕОМ значення числа pобчислено з мільйонами правильних знаків, але така точність не потрібна в жодних обчисленнях. А ось можливість аналітичного визначення числа ,

В останній формулі в чисельнику стоять всі прості числа, а знаменники відрізняються від них на одиницю, причому знаменник більший за чисельник, якщо той має вигляд 4 n+ 1, і менше інакше.

Хоча з кінця 16 в., тобто. відколи сформувалися самі поняття раціональних та ірраціональних чисел, багато вчених були переконані в тому, що p- Число ірраціональне, але тільки в 1766 німецький математик Йоган Генріх Ламберт (1728-1777), ґрунтуючись на відкритій Ейлером залежності між показовою і тригонометричними функціями, Суворо довів це. Число pне може бути представлено у вигляді простого дробу, якими б не були великі чисельник і знаменник.

У 1882 професор Мюнхенського університету Карл Луїз Фердинанд Ліндеман (1852-1939) використовуючи результати, отримані французьким математиком Ш. Ермітом, довів, що p- Число трансцендентне, тобто. воно не є корінням жодного алгебраїчного рівняння a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 із цілими коефіцієнтами. Цей доказ поставило крапку історія найдавнішої математичної завдання про квадратуру кола. Тисячоліття це завдання не піддавалося зусиллям математиків, вираз "квадратура кола" став синонімом нерозв'язної проблеми. А вся справа опинилася в трансцендентній природі числа p.

На згадку про це відкриття у залі перед математичною аудиторією Мюнхенського університету було встановлено погруддя Ліндемана. На постаменті під його ім'ям зображено коло, перетнуте квадратом рівної площі, всередині якого написана буква p.

Марина Федосова

Значення числа "Пі", як і його символіка, відома у всьому світі. Цей термін позначає ірраціональні числа (тобто їх значення не може бути точно виражено у вигляді дробу y/x, де y і x - цілі числа) і запозичений і давньогрецький фразеологізм "переферія", що можна перекласти на російську, як "коло".
Число "Пі" в математиці позначає відношення довжини кола до довжини її діаметра.Історія походження числа "Пі" йде в далеке минуле. Багато істориків намагалися встановити, коли і ким був придуманий цей символ, але з'ясувати так і не вдалося.

Число Пі"є трансцендентним числом, або кажучи простими словамивоно не може бути коренем якогось багаточлена з цілими коефіцієнтами. Воно може позначатися, як речовинне чи, як опосередковане число, яке є алгебраїчним.

Число "Пі" дорівнює 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Число Пі"може бути не лише ірраціональним числом, яке не можна висловити за допомогою кількох різних чисел. Число "Пі" можна уявити якоюсь десяткового дробу, яке має у своєму розпорядженні нескінченне безліч цифр після коми. Ще цікавий момент – усі ці числа не здатні повторюватися.

Число Пі"можна співвіднести з дробовим числом 22/7, так званим символом "потрійної октави". Це число знали ще давньогрецькі жерці. Крім того, навіть прості жителі могли застосовувати його для вирішення будь-яких побутових проблем, а також використовувати для проектування таких складних будівель, як усипальниці.
Як заявляє вчений і дослідник Хейєнс, подібну кількість можна простежити серед руїн Стоунхенджа, а також виявити в мексиканських пірамідах.

Число Пі"згадував у своїх працях Ахмес, відомий на той час інженер. Він намагався найбільш точно розрахувати його, використовуючи для цього вимірювання діаметра кола за намальованими всередині нього квадратами. Ймовірно, у певному сенсі це число має якийсь містичний, сакральний для древніх сенс.

Число Пі"по суті є найзагадковішим математичним символом. Його можна зарахувати до дельти, омеги та ін. Воно являє собою таке відношення, яке виявиться таким, незалежно в якій точці світобудови буде знаходитися спостерігач. Крім того, воно буде незмінним від об'єкта виміру.

Найімовірніше, першою людиною, яка вирішила обчислити число "Пі" за допомогою математичного методу, є Архімед. Він вирішив він малював у колі правильні багатокутники. Вважаючи діаметр кола одиницею, вчений позначав периметр намальованого в колі багатокутника, розглядаючи периметр вписаного багатокутника як верхню оцінку, а як нижню оцінку довжини кола

Що таке число "Пі"

Чому дорівнює число Піми знаємо та пам'ятаємо зі школи. Воно дорівнює 3.1415926 і так далі… Звичайній людині достатньо знати, що це число виходить, якщо розділити довжину кола на його діаметр. Але багатьом відомо, що число Пі виникає у несподіваних галузях як математики і геометрії, а й у фізиці. Ну а якщо вникнути в подробиці природи цього числа, можна помітити багато дивовижного серед нескінченного ряду цифр. Чи можливо, що Пі приховує найпотаємніші таємниці Всесвіту?

Нескінченна кількість

Саме число Пі виникає в нашому світі як довжина кола, діаметр якого дорівнює одиниці. Але, незважаючи на те, що відрізок рівний Пі цілком собі кінцевий, число Пі починається, як 3.1415926 і йде в нескінченність рядами цифр, які ніколи не повторюються. Перший дивовижний факт у тому, що це число, що використовується в геометрії, не можна виразити у вигляді дробу з цілих чисел. Інакше кажучи, ви не зможете його записати відношенням двох чисел a/b. Крім цього, число Пі трансцендентне. Це означає, що немає такого рівняння (багаточлена) з цілими коефіцієнтами, рішенням якого було б число Пі.

Те, що число Пі є трансцендентним, довів у 1882 році німецький математик фон Ліндеман. Саме цей доказ став відповіддю на запитання, чи можна за допомогою циркуля та лінійки намалювати квадрат, у якого площа дорівнює площі заданого кола. Це завдання відоме як пошук квадратури кола, що хвилювало людство з найдавніших часів. Здавалося, що це завдання має просте рішення і ось-ось буде розкрито. Але саме незбагненне властивість числа Пі показало, що задача квадратури кола рішення немає.

Протягом щонайменше чотирьох з половиною тисячоліть людство намагалося отримати дедалі точніше значення числа Пі. Наприклад, у Біблії у Третьій Книги Царств (7:23) число Пі приймається рівним 3.

Чудове за точністю значення Пі можна виявити у пірамідах Гізи: співвідношення периметра та висоти пірамід становить 22/7. Цей дріб дає наближене значення Пі, що дорівнює 3.142… Якщо, звичайно, єгиптяни не поставили таке співвідношення випадково. Це значення вже стосовно розрахунку числа Пі отримав у III столітті до нашої ери великий Архімед.

У папірусі Ахмеса, давньоєгипетському підручнику з математики, який датується 1650 роком до нашої ери, число Пі розраховане як 3.160493827.

У давньоіндійських текстах приблизно IX століття до нашої ери найточніше значення було виражено числом 339/108, яке дорівнювало 3,1388.

Після Архімеда майже дві тисячі років люди намагалися знайти способи розрахувати число Пі. Серед них були як відомі, і невідомі математики. Наприклад, римський архітектор Марк Вітрувій Полліон, єгипетський астроном Клавдій Птолемей, китайський математик Лю Хуей, індійський мудрець Аріабхата, середньовічний математик Леонардо Пізанський, відомий як Фібоначчі, арабський вчений Аль-Хорезмі, від чийого імені з'явилося. Всі вони і безліч інших людей шукали найбільш точні методики розрахунку Пі, але аж до 15 століття ніколи не отримували більше 10 цифр після коми у зв'язку зі складністю розрахунків.

Нарешті, в 1400 індійський математик Мадхава з Сангамаграма розрахував Пі з точністю до 13 знаків (хоча в двох останніх все-таки помилився).

Кількість знаків

У 17 столітті Лейбніц і Ньютон відкрили аналіз нескінченно малих величин, який дозволив обчислювати Пі прогресивніше – через статечні ряди та інтеграли. Сам Ньютон вирахував 16 знаків після коми, але не згадав про це у своїх книгах – про це стало відомо після його смерті. Ньютон стверджував, що займався розрахунком Пі виключно від нудьги.

Приблизно в той же час підтягнулися й інші менш відомі математики, які запропонували нові формули розрахунку Пі через тригонометричні функції.

Наприклад, за якою формулою розраховував Пі викладач астрономії Джон Мечин в 1706 року: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). За допомогою методів аналізу Мечін вивів із цієї формули число Пі з сотнею знаків після коми.

До речі, того ж 1706 року число Пі отримало офіційне позначення у вигляді грецької літери: його у своїй праці з математики використав Вільям Джонс, взявши першу літеру грецького слова"периферія", що означає "коло". Великий Леонард Ейлер, що народився в 1707, популяризував це позначення, нині відоме будь-якому школяру.

До ери комп'ютерів математики займалися тим, щоб розрахувати якнайбільше знаків. У зв'язку з цим часом виникали курйози. Математик-аматор У. Шенкс в 1875 розрахував 707 знаків числа Пі. Ці сім сотень знаків увічнили на стіні Палацу Відкриттів у Парижі 1937 року. Однак через дев'ять років спостережними математиками було виявлено, що правильно обчислено лише перші 527 знаків. Музею довелося зазнати пристойних витрат, щоб виправити помилку – зараз усі цифри вірні.

Коли з'явилися комп'ютери, кількість цифр числа Пі почала обчислюватися зовсім неймовірними порядками.

Один з перших електронних комп'ютерів ENIAC, створений у 1946 році, що мав величезні розміри, і виділяв стільки тепла, що приміщення прогрівалося до 50 градусів за Цельсієм, обчислив перші 2037 символів Пі. Цей розрахунок зайняв у машини 70 годин.

У міру вдосконалення комп'ютерів наше знання числа Пі все далі й далі йшло в безкінечність. 1958 року було розраховано 10 тисяч знаків числа. У 1987 році японці вирахували 10 013 395 знаків. У 2011 році японський дослідник Сігеру Хондо перевищив рубіж у 10 трильйонів знаків.

Де ще можна зустріти Пі?

Отже, найчастіше наші знання про кількість Пі залишаються на шкільному рівні, і ми точно знаємо, що це число є незамінним насамперед у геометрії.

Крім формул довжини і площі кола число Пі використовується у формулах еліпсів, сфер, конусів, циліндрів, еліпсоїдів і так далі: десь формули прості і легко запам'ятовуються, а десь містять дуже складні інтеграли.

Потім ми можемо зустріти число Пі в математичних формулах, де, на перший погляд, геометрії і не видно. Наприклад, невизначений інтегралвід 1/(1-x^2) дорівнює Пі.

Пі часто використовується в аналізі рядів. Для прикладу наведемо простий ряд, який сходиться до Пі:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Серед рядів число Пі найбільше несподівано з'являється у відомій дзета-функції Рімана. Розповісти про неї двома словами не вийде, скажімо лише, що колись число Пі допоможе знайти формулу розрахунку простих чисел.

І зовсім дивно: Пі з'являється у двох найкрасивіших «королівських» формулах математики – формулі Стірлінга (яка допомагає знайти приблизне значення факторіалу та гамма-функції) та формулі Ейлера (яка пов'язує аж п'ять математичних констант).

Проте найнесподіваніше відкриття чекало математиків теоретично ймовірності. Там теж є число Пі.

Наприклад, ймовірність того, що два числа виявляться взаємно простими, дорівнює 6/PI2.

Пі з'являється в задачі Бюффона про кидання голки, сформульованої в 18 столітті: яка ймовірність того, що кинута на розкреслений аркуш паперу голка перетне одну з ліній. Якщо довжина голки L, а відстань між лініями L, і r > L ми можемо приблизно розрахувати значення числа Пі за формулою ймовірності 2L/rPI. Тільки уявіть – ми можемо отримати Пі з випадкових подій. І між іншим Пі присутній у нормальному розподіліймовірностей, з'являється у рівнянні знаменитої кривої Гауса. Чи означає це, що число Пі ще фундаментальніше, ніж просто відношення довжини кола до діаметра?

Ми можемо зустріти Пі у фізиці. Пі з'являється в законі Кулона, який описує силу взаємодії між двома зарядами, у третьому законі Кеплера, який показує період обертання планети навколо Сонця, зустрічається навіть у розташуванні електронних орбіталейатом водню. І що знову ж таки неймовірне – число Пі ховається у формулі принципу невизначеності Гейзенберга – фундаментального закону квантової фізики.

Таємниці числа Пі

У романі Карла Сагана «Контакт», за яким знято однойменний фільм, інопланетяни повідомляють героїні, що серед знаків Пі міститься таємне послання від Бога. З деякої позиції цифри в числі перестають бути випадковими і уявляють код, у якому записані всі секрети Світобудови.

Цей роман насправді відобразив загадку, що займає розуми математиків усієї планети: чи є Пі нормальним числом, в якому цифри розкидані з однаковою частотою, або з цим числом щось не так. І хоча вчені схиляються до першого варіанту (але не можуть довести), число Пі дуже загадкове. Один японець як підрахував, скільки разів зустрічаються числа від 0 до 9 в першому трильйоні знаків Пі. І побачив, що числа 2, 4 та 8 зустрічаються частіше, ніж решта. Це може бути одним із натяків на те, що Пі не зовсім нормальне, і цифри в ньому справді не випадкові.

Згадаймо все, що ми прочитали вище, і запитаємо себе, яке ще ірраціональне та трансцендентне число так часто зустрічається у реальному світі?

А в запасі є ще дива. Наприклад, сума перших двадцяти цифр Пі дорівнює 20, а сума перших 144 цифр дорівнює «числу звіра» 666.

Головний геройамериканського серіалу «підозрюваний» професор Фінч розповідав студентам, що через нескінченність числа Пі в ньому можуть зустрітися будь-які комбінації цифр, починаючи від цифр дати вашого народження до складніших чисел. Наприклад, на 762-ій позиції знаходиться послідовність із шести дев'яток. Ця позиція називається точкою Фейнмана на вшанування відомого фізика, який помітив це цікаве поєднання.

Нам відомо також, що число Пі містить послідовність 0123456789, але знаходиться вона на 17387594880 цифрі.

Усе це означає, що у нескінченності числа Пі можна знайти як цікаві поєднання цифр, а й закодований текст «Війни і світу», Біблії і навіть Головну ТаємницюСвітобудови, якщо така існує.

До речі, про Біблію. Відомий популяризатор математики Мартін Гарднер у 1966 році заявив, що мільйонним знаком числа Пі (на той момент ще невідомим) буде число 5. Свої розрахунки він пояснив тим, що в англомовній версії Біблії, у 3-й книзі, 14-му розділі, 16 -М вірші (3-14-16) сьоме слово містить п'ять букв. Мільйонну цифру отримали через вісім років. Це було число п'ять.

Чи варто після цього стверджувати, що число Пі є випадковим?

Що приховує число Пі

Число Пі - одне з найпопулярніших математичних понять. Про нього пишуть картини, знімають фільми, його грають на музичних інструментах, йому присвячують вірші та свята, його шукають та знаходять у священних текстах.

Хто відкрив π?
Хто і коли вперше відкрив число π, досі залишається загадкою. Відомо, що будівельники стародавнього Вавилону вже користувалися ним при проектуванні. На клинописних табличках, яким тисячі років, збереглися навіть завдання, які пропонували вирішити за допомогою π. Щоправда, тоді вважалося, що π дорівнює трьом. Про це свідчить табличка, знайдена у місті Сузи, за двісті кілометрів від Вавилону, де число π вказувалося як 3 1/8 .

У процесі обчислень π вавилонці виявили, що радіус кола як хорда входить до неї шість разів, і поділили коло на 360 градусів. А заразом зробили те саме з орбітою сонця. Таким чином вони вирішили вважати, що в році 360 днів.

У Стародавньому Єгиптіπ дорівнювало 3,16.
У давній Індії – 3,088.
У Італії межі епох вважали, що π дорівнює 3,125.

В Античності рання згадка π відноситься до знаменитої задачі про квадратуру кола, тобто про неможливість за допомогою циркуля і лінійки побудувати квадрат, площа якого дорівнює площі певного кола. Архімед прирівнював π до дробу 22/7.

Найближче до точного значення π підійшли в Китаї. Його обчислив у V столітті зв. е. знаменитий китайський астроном Цзу Чунь Чжі. Обчислювалося досить просто. Треба було двічі написати непарні числа: 113355, а потім, розділивши їх навпіл, помістити перше в знаменник дробу, а друге - в чисельник: 355/113. Результат збігається із сучасними обчисленнями π аж до сьомого знака.


Чому π - π?
Зараз навіть школярі знають, що число π - математична константа, що дорівнює відношенню довжини кола до довжини її діаметра і дорівнює π 3,1415926535 … і далі після коми - до нескінченності.

Своє позначення π число набуло складним шляхом: спочатку цією грецькою літерою в 1647 математик Оутрейд обізвав довжину кола. Він узяв першу літеру грецького слова περιφέρεια - "переферія". У 1706 році англійський викладачВільям Джонс у роботі «Огляд досягнень математики» вже називав буквою π відношення довжини кола до її діаметра. А закріпив назву математик XVIII століття Леонард Ейлер, перед авторитетом якого решта схилила голови. Так π стало π.

Унікальність числа
Пі – справді унікальне число.

1. Вчені вважають, що кількість знаків у числі π нескінченна. Їхня послідовність не повторюється. Більше того, знайти повторення не вдасться нікому і ніколи. Так як число нескінченне, воно може містити в собі абсолютно все, навіть симфонію Рахманінова, Старий Заповіт, ваш номер телефону та рік, в якому настане Апокаліпсис.

2. π пов'язане з теорією хаосу. Такого висновку дійшли вчені після створення обчислювальної програми Бейлі, яка показала, що послідовність чисел π абсолютно випадкова, що відповідає теорії.

3. Обчислити число остаточно практично неможливо - це зайняло занадто багато часу.

4. π - ірраціональне число, тобто його значення не можна виразити дробом.

5. π – трансцедентне число. Його не можна отримати, зробивши будь-які алгебраїчні діїнад цілими числами.

6. Тридцять дев'ять знаків після коми в числі π достатньо для того, що обчислити довжину кола, що оперізує відомі космічні об'єкти у Всесвіті, з похибкою в радіус атома водню.

7. Число π пов'язане з поняттям «золотого перерізу». У процесі вимірів Великої піраміди в Гізі археологи з'ясували, що її висота відноситься до довжини її заснування, так само як радіус кола - до її довжини.

Рекорди, пов'язані з π

У 2010 році співробітник компанії «Yahoo» математик Ніколас Чже зміг обчислити в числі π два квадрильйони знаків після коми (2x10). На це пішло 23 дні, і математику знадобилося багато помічників, які працювали на тисячах комп'ютерів, об'єднаних за технологією розсіяних обчислень. Метод дозволив зробити розрахунки з такою феноменальною швидкістю. Щоб обчислити те саме на одному комп'ютері, знадобилося б більше 500 років.

Для того, щоб просто записати все це на папері, знадобиться паперова стрічка більше двох мільярдів кілометрів завдовжки. Якщо розгорнути таку запис, її кінець вийде межі Сонячної системи.

Китаєць Лю Чао встановив рекорд із запам'ятовування послідовності цифр числа π. Протягом 24 годин 4 хвилин Лю Чао назвав 67 890 знаків після коми, не припустившись жодної помилки.

Клуб π

У π багато шанувальників. Його відтворюють на музичних інструментах, і виявляється, що "звучить" воно чудово. Його запам'ятовують і вигадують при цьому різні прийоми. Його заради забави скачують собі на комп'ютер і вихваляються один перед одним, хто більше скачав. Йому ставлять пам'ятники. Наприклад, такий пам'ятник є у Сіетлі. Він знаходиться на сходах перед будівлею Музею мистецтв.

π використовують в прикрасах та в інтер'єрі. Йому присвячують вірші, його шукають у святих книгах та на розкопках. Є навіть «Клуб π».
У кращих традиціяхπ, числу присвячений не один, а цілих два дні на рік! Вперше День π святкують 14 березня. Вітати один одного треба рівно о 1годині, 59 хвилин, 26 секунд. Таким чином, дата та час відповідають першим знакам числа-3,1415926.

Вдруге свято π відзначають 22 липня. Цей день пов'язують із так званим наближеним π, який Архімед записував дробом.
Зазвичай цього дня π студенти, школярі та вчені влаштовують забавні флеш-моби та акції. Математики, бавлячись, за допомогою π обчислюють закони падаючого бутерброду і дарують один одному жартівливі нагороди.
І, між іншим, π справді можна знайти у святих книгах. Наприклад, у Біблії. І там число π дорівнює… трьом.