Поняття правильного багатогранника повідомлення. Що таке багатогранник? Роль ікосаедра в розвитку математики

Виконав учень 10 «А» класу Викладач Школи№528 ЦАО

Завантажити:

Попередній перегляд:

Попередній перегляд:

4. Числові характеристики Платонових тел.

7. архімедовим тіла

8. Золота пропорція в додекаедрів і ікосаедр.

adsby.ru → твори

Мета уроку:

Ввести поняття правильних багатогранників.
Розглянути види правильних багатогранників.
Вирішення задач.
Прищепити інтерес до предмету, навчити бачити прекрасне в геометричних тілах, розвиток просторової уяви.
Міжпредметні зв'язки.

наочність:таблиці, моделі.

Хід уроку

I. Організаційний момент.Повідомити тему уроку, сформулювати цілі уроку.

II. Вивчення нового матеріалу /

Є в шкільній геометрії особливі теми, Які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести "Правильні багатогранники". Тут не тільки відкривається дивовижний світ геометричних тіл, які мають неповторними властивостями, але і цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним дослідженням несподіваних сторін звичного шкільного предмета.

Жодні геометричні тіла не мають такою досконалістю і красою, як правильні багатогранники. "Правильних багатогранників зухвало мало, - написав колись Л. Керолл, - але цей досить скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук".

Визначення правильного багатогранника.

Багатогранник називається правильним, якщо:

він опуклий;
всі його грані - рівні один одному правильні багатокутники;
в кожній його вершині сходиться однакове число ребер;
всі його двогранні кути рівні.

теорема:Існує п'ять різних (з точністю до подібності) типів правильних багатогранників: правильний тетраедр, правильний гексаедр (куб), правильний октаедр, правильний додекаедр і правильний ікосаедр.

Таблиця 1.Деякі властивості правильних багатогранників наведені в наступній таблиці.

вид межі	Плоский кут при вершині	Вид багатогранного кута при вершині	Сума плоских кутів при вершині	В	Р	Г	Назва багатогранника
правильний трикутник	60º	3-гранний	180º	4	6	4	правильний тетраедр
правильний трикутник	60º	4-гранний	240º	6	12	8	правильний октаедр
правильний трикутник	60º	5-гранний	300º	12	30	20	правильний ікосаедр
квадрат	90º	3-гранний	270º	8	12	6	Правильний гексаедр (куб)
правильний трикутник	108º	3-гранний	324º	20	30	12	правильний додекаедр

Розглянемо види багатогранників:

правильний тетраедр

<Рис. 1>

правильний октаедр

<Рис. 2>

правильний ікосаедр

<Рис. 3>

Правильний гексаедр (куб)

<Рис. 4>

правильний додекаедр

<Рис. 5>

Таблиця 2. Формули для знаходження обсягів правильних багатогранників.

вид багатогранника	обсяг багатогранника
правильний тетраедр
правильний октаедр
правильний ікосаедр
Правильний гексаедр (куб)
правильний додекаедр

"Платонова тіла".

Куб і октаедр дуальні, тобто виходять один з одного, якщо центри тяжкості граней одного прийняти за вершини іншого і назад. Аналогічно дуальні додекаедр і ікосаедр. Тетраедр дуальний сам собі. Правильний додекаедр виходить з куба побудовою "дахів" на його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру. Так виходять з куба всі інші правильні багатогранники. Сам факт існування всього п'яти справді правильних багатогранників дивний - адже правильних багатокутників на площині нескінченно багато!

Всі правильні багатогранники були відомі ще в Стародавній Греції, і їм присвячена заключна, XII книга знаменитих почав Евкліда. Ці багатогранники часто називають так само Платоновим тіламив ідеалістичної картині світу, даної великим давньогрецьким мислителем Платоном. Чотири з них уособлювали чотири стихії: тетраедр-вогонь, куб-землю, ікосаедр-воду і октаедр-повітря; А року п'ятого багатогранник, додекаедр, символізував все світобудову. Його по латині стали називати quinta essentia ( "п'ята сутність").

Придумати правильний тетраедр, куб, октаедр, мабуть, було не важко, тим більше що ці форми мають природні кристали, наприклад: куб - монокристал кухонної солі(NaCl), октаедр - монокристал алюмокалієвих квасцов ((KAlSO 4) 2 · l2H 2 O). Існує припущення, що форму додекаедра стародавні греки отримали, розглядаючи кристали піриту (сірчистого колчедану FeS). Маючи ж додекаедр неважко побудувати і ікосаедр: його вершинами будуть центри 12 граней додекаедра.

Де ще можна побачити ці дивовижні тіла?

У дуже красивою книзі німецького біолога початку нашого століття Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні невичерпна кількість дивних створінь, які по красі і різноманітності далеко перевершують все створені мистецтвом людини форми". Створення природи, наведені в цій книзі, красиві і симетричні. Це невіддільне властивість природної гармонії. Але тут видно одноклітинні організми - феодаріі, форма яких точно передає ікосаедр. Чим же викликана ця природна геометризация? Може бути, тим, що з усіх багатогранників з такою ж кількістю граней саме ікосаедр має найбільший обсяг і найменшу площу поверхні. Це геометричне властивість допомагає морському мікроорганізму переборювати тиск водної товщі.

Цікаво й те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх спорах щодо форми вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло по тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилося, що властивості, про які говорилося вище, дозволяють економити генетичну інформацію. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних решіток деяких хімічних речовин. Наступне завдання проілюструє цю думку.

Завдання.Модель молекули метану CH 4 має форму правильного тетраедра, в чотирьох вершинах якого знаходяться атоми водню, а в центрі - атом вуглецю. Визначити кут зв'язку між двома CH зв'язками.

<Рис. 6>

Рішення.Так як правильний тетраедр має шість рівних ребер, то можна підібрати такий куб, щоб діагоналі його граней були ребрами правильного тетраедра. Центр куба є і центром тетраедра, адже чотири вершини тетраедра є і вершинами куба, а описувана біля них сфера однозначно визначається чотирма точками, що не лежать в одній площині.

Трикутник АОС - рівнобедрений. Звідси а - сторона куба, d - довжина діагоналі бічної грані або ребро тетраедра. Отже, а = 54, 73561 0 і j = 109,47 0

Завдання.У кубі з однієї вершини (D) проведені діагоналі граней DA, DB і DC і кінці їх з'єднані прямими. Довести, що багатогранник DABC, утворений чотирма площинами, що проходять через ці прямі, - правильний тетраедр.

<Рис. 7>

Завдання.Ребро куба одно a.Обчислити поверхнявписаного в нього правильного октаедра. Знайти її ставлення до поверхні вписаного в той же куб правильного тетраедра.

<Рис. 8>

Узагальнення поняття багатогранника.

Багатогранник - сукупність кінцевого числа плоских багатокутників така, що:

кожна сторона будь-якого з багатокутників є одночасно сторона іншого (але тільки одного (званого суміжним з першим) по цій стороні);
від будь-якого з багатокутників складових багатогранник, можна дійти до будь-якого з них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, в свою чергу, до суміжного з ним і т.д.

Ці багатокутники називаються гранями, їх сторони - ребрами, а їх вершини - вершинами многогранника.

Наведене визначення багатогранника отримує різний сенс залежно від того, як визначити багатокутник:

- якщо під многоугольником розуміють плоскі замкнуті ламані (хоча б і саме пересічні), то приходять до даного визначення багатогранника;

- якщо під многоугольником розуміти частину площині, обмеженою ламати, то з цієї точки зору під многогранником розуміють поверхню, складену з багатокутних шматків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, то вона є повна поверхня деякого геометричного тіла, яке так само називають многогранником. Від сюди виникає третя точка зору на багатогранники як на геометричні тіла, при чому допускається також існування у цих тіл "дірок", обмежених кінцевим числом плоских граней.

Найпростішими прикладами багатогранників є призми і піраміди.

багатогранник називається n-вугільної пірамідою, якщо він має однієї своєю гранню (підставою) будь-якої n-кутник, а інші грані - трикутники із загальною вершиною, що не лежить в площині підстави. Трикутна піраміда називається також тетраедром.

багатогранник називається n-угольной призмою, якщо він має двома своїми гранями (підставами) рівні n-угольнікі (що не лежать в одній площині), що виходять один з одного паралельним перенесенням, а інші грані - паралелограми, протилежними сторонами яких є відповідні сторони підстав.

Для будь-якого багатогранника нульового роду ейлерова характеристика (число вершин мінус число ребер плюс число граней) дорівнює двом; символічно: В - Р + Г = 2 (теорема Ейлера). Для багатогранника роду pсправедливо співвідношення В - Р + Г = 2 - 2 p.

Опуклим многогранником називається такий багатогранник, який лежить по одну сторону від площини будь-якій його межі. Найбільш важливі такі опуклі багатогранники:

<Рис. 9>

правильні багатогранники (тіла Платона) - такі опуклі багатогранники, всі грані яких однакові правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах правильні і рівні<Рис. 9, № 1-5>;
ізогони і ізоедр - опуклі багатогранники, всі багатогранні кути яких рівні (ізогони) або рівні все грані (ізоедр); причому група поворотів (з відбитками) ізогон (ізоедр) навколо центра ваги переводить будь-яку його вершину (грань) в будь-яку іншу його вершину (грань). Отримані так багатогранники називаються напівправильними многогранниками (тілами Архімеда)<Рис. 9, № 10-25>;
параллелоедри (опуклі) - багатогранники, що розглядаються як тіла, паралельним перетином яких можна заповнити всі нескінченний простір так, щоб вони не входили один в одного і не залишали порожнеч між собою, тобто утворювали розбиття простору<Рис. 9, № 26-30>;
Якщо під многоугольником розуміти плоскі замкнуті ламані (хоча б і самопересекающиеся), то можна вказати ще 4 неопуклих (зірчастих) правильних багатогранників (тіла Пуансо). У цих многогранниках або межі перетинають один одного, або межі - самопересекающиеся багатокутники<Рис. 9, № 6-9>.

III. Завдання додому.

IV. Рішення задач № 279, № 281.

V. Підведення підсумків.

Список використаної літератури:

"Математична енциклопедія", під редакцією І. М. Виноградова,видавництво " Радянська енциклопедія", Москва, 1985 г. Том 4 стор. 552-553 Том 3, стор. 708-711.
"Мала математична енциклопедія", Е. Фрід, І. Пастор, І. Рейманта ін. видавництво Академії наук Угорщини, Будапешт, 1976 г. Стор. 264-267.
"Збірник завдань по математики для вступників до ВНЗ" в двох книгах, за редакцією М. І. Сканаві, книга 2 - Геометрія, вид-во "Вища школа", Москва, 1998 г. Стор. 45-50.
“Практичні заняттяпо математиці: Навчальний посібникдля технікумів ", видавництво" Вища школа ", Москва, 1979 г. Стор. 388-395, стор. 405.
"Повторюємо математику" видання 2-6, доп., Навчальний посібник для вступників до ВНЗ, видавництво "Вища школа", Москва, 1974 г. Стор. 446-447.
Енциклопедичний словник юного математика, А. П. Савін,видавництво "Педагогіка", Москва, 1989 р Стор. 197-199.
"Енциклопедія для дітей. Т.П. Математика ", головний редактор М. Д. Аксьонова; метод, і відп. редактор В. А. Володін, видавництво "Аванта +", Москва, 2003 Стор. 338-340.
Геометрія, 10-11: Підручник для загальноосвітніх установ / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцевта ін. - 10-е видання - М .: Просвещение, 2001. Стор. 68-71.
"Квант" № 9, 11 - 1983, № 12 - 1987, № 11, 12 - 1988, № 6, 7, 8 - 1989. Науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР і Академії педагогічних наукСРСР. Видавництво "Наука". Головна редакція фізико-математичної літератури. Стор. 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Рішення задач підвищеної складності з геометрії: 11-й клас - М .: АРКТИ, 2002. Стор. 9, 19-20.

ДЕРЖАВНЕ БЮДЖЕТНА

Профессіоналний освітніх закладах

МІСТА

МОСКВИ

“КОЛЕДЖ ПОЛІЦІЇ "

реферат

На тему: "Правильні і напівправильні багатогранники ”

виконав:

Курсант 111 взводу

Кайбелев І.І

викладач

Зайцева О.Н

Москва

2016

зміст

Вступ................................................. ....................... 3

Правильні багатогранники ........................................ 4

Правильний ікосаедр. ............ ................................. 5

Куб. ......... .......... .... ... ................................ ................. 6

Правильний тетраедр ................................................ .. 7

Напівправильні багатогранники ............. ...... ... ... 8

Додекаедрів-ікосаедрічеськая доктрина. ......... .......................................... ................ 18

Роль ікосаедра в розвитку математики. ......... ......................................... ............. 21

Правильні багатогранники навколо нас .................... 23

Висновок ............. ...... .. ........................ .. ... ..27

Список Літератури ............. .................. .... ...... 28

Вступ.

Людина проявляє інтерес до правильних многогранників протягом усього свого свідомого діяльності - від дворічної дитини, що грає дерев'яними кубиками, до зрілого математика, насолоджується читанням книг про многогранниках. Деякі з правильних і напівправильних тел зустрічаються в природі у вигляді кристалів, інші - у вигляді вірусів (які можна розглянути за допомогою електронного мікроскопа). Бджоли будували шестикутні стільники задовго до появи людини, а в історії цивілізації створення багатогранних тел (подібних пірамід) поряд з іншими видами пластичних мистецтв йде в глиб століть.

Мій реферат присвячений темі правильних і напівправильних багатогранників. Їх вивчали Теєтет, Платон, Евклід, Гипсикл і Папп. Також і нас ці дивовижні тіла не залишили байдужою. Адже їх форма - зразок досконалості!

Скільки всього правильних багатогранників? Якими особливостями вони володіють? Як виготовити модель будь-якого правильного багатогранника? Де можна зустріти ці тіла? Відповісти на ці та багато інших питань і є метою нашої роботи.

правильні багатогранники

октаедр

Октаедр - один з п'яти опуклих правильних багатогранників, так званих Платонових тел.

Октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, в кожній його вершині сходяться 4 ребра.

властивості октаедра

Октаедр можна вписати в тетраедр, притому чотири з восьми граней октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.

Октаедр можна вписати в куб, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.

У октаедр можна вписати куб, притому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.

Правильний октаедр має симетрію Oh, збігається з симетрією куба.

Октаедр в природі

Багато природних кубічні кристали мають форму октаедра. Це алмаз, хлорид натрію, перовскит, олівін, флюорит, шпінель.

Форму октаедра мають міжатомні порожнечі (пори) в щільноупакованих структурах чистих металів (нікелі, міді, магнії, титані, лантану і багатьох інших) і іонних сполук (хлорид натрію, сфалерит, вюрцит і ін.).

правильний ікосаедр

ікосаедр - правильний опуклий багатогранник, двадцатигранник, одне з Платонових тел. Кожна з 20 граней являє собою рівносторонній трикутник. Число ребер дорівнює 30, число вершин - 12. Ікосаедр має 59 зірчастих форм.

властивості

Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому шість взаємно перпендикулярних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, інші 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба

У ікосаедр може бути вписаний тетраедр, так що чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.

Ікосаедр можна вписати в додекаедр, при цьому вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами граней додекаедра.

У ікосаедр можна вписати додекаедр з суміщенням вершин Додекаедр і центрів граней ікосаедра.

Усічений ікосаедр може бути отриманий зрізанням 12 вершин з утворенням граней у вигляді правильних п'ятикутників. При цьому число вершин нового багатогранника збільшується в 5 разів (12 × 5 = 60), 20 трикутних граней перетворюються в правильні шестикутники (всього граней стає 20 + 12 = 32), а число ребер зростає до 30 + 12 × 5 = 90.

Зібрати модель ікосаедра можна за допомогою 20 тетраедрів.

Неможливо зібрати ікосаедр з правильних тетраедрів, так як радіус описаної сфери навколо ікосаедра, відповідно і довжина бічного ребра (від вершини до центру такої збірки) тетраедра менше ребра самого ікосаедра.

куб

Куб або правильний гексаедр - правильний багатогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.

властивості куба

Чотири перетину куба є правильними шестикутниками - ці перетину проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом його головним діагоналях.

У куб можна вписати тетраедр двома способами. В обох випадках чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба і всі шість ребер тетраедра будуть належати гранях куба. У першому випадку все вершини тетраедра належать граням тригранного кута, вершина якого збігається з однією з вершин куба. У другому випадку попарно перехресні ребра тетраедра належать попарно протилежними гранях куба. Такий тетраедр є правильним, а його обсяг складає 1/3 від обсягу куба.

У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.

Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра. У куб можна вписати ікосаедр, при цьому шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, інші 24 ребра - всередині куба. Всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

правильний додекаедр

додекаедр - двенадцатигранник, складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних пятіугольніков.Такім чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °. Додекаедр має три зірчасті форми.

властивості

У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедру. У додекаедр можна вписати п'ять кубів. Якщо замінити п'ятикутні грані додекаедру плоскими п'ятикутними зірками так, що зникнуть всі ребра додекаедра, то отримаємо простір п'яти пересічних кубів. Додекаедр як такої зникне. Замість замкнутого багатогранника з'явиться відкрита геометрична система п'яти ортогональних. Або симетричне перетин п'яти тривимірних просторів.

правильний тетраедр

Тетраедр - найпростіший багатогранник, гранями якого є чотири трикутники. У тетраедра 4 грані, 4 вершини і 6 ребер.

властивості тетраедра

Паралельні площини, що проходять через пари перехресних ребер тетраедра, визначають описаний близько тетраедра паралелепіпед.

Всі медіани тетраедра перетинаються в одній точці, яка ділить їх у відношенні 3: 1, рахуючи від вершини (теорема Коммандіно). У цій же точці перетинаються і бімедіани тетраедра, які діляться нею навпіл.

Площина, що проходить через середини двох перехресних ребер тетраедра, ділить його на дві рівні за обсягом частини.

Тетраедри в живій природі

Тетраедр з волоських горіхів

Деякі плоди, перебуваючи вчотирьох на одній кисті, розташовуються в вершинах тетраедра, близького до правильного. Така конструкція обумовлена тим, що центри чотирьох однакових куль, що стосуються один одного, знаходяться в вершинах правильного тетраедра. Тому схожі на кулю плоди утворюють подібне взаємне розташування. Наприклад, таким чином можуть розташовуватися волоські горіхи.

напівправильні багатогранники

Відомо ще безліч скоєних тіл, які отримали назву напівправильних багатогранників або архімедовим тел. У них також все багатогранні кути рівні і всі грані - правильні багатокутники, але кілька різних типів. Існує 13 напівправильних багатогранників, відкриття яких приписується Архімеда.

Архімед (287 м до н.е. - 212 р до н.е.)

Безліч архімедовим тел можна розбити на кілька груп. Першу з них складають п'ять багатогранників, які виходять з Платонових тел в результаті їх зрізання. Усеченное тіло - це тіло з відрізаною верхівкою. Для Платонових тел усічення може бути зроблено таким чином, що і виходять нові грані і залишаються частини старих будуть правильними багатокутниками. Таким шляхом можуть бути отримані п'ять архімедовим тел: усічений тетраедр, усічений гексаедр (куб), усічений октаедр, усічений додекаедр і усічений ікосаедр (Рис. 2).

малюнок 2 . Архимедови тіла: (а) усічений тетраедр, (б) усічений куб, (в) усічений октаедр, (г) усічений додекаедр, (д) усічений ікосаедр

У своїй Нобелівській лекції американський вчений Смолли, один з авторів експериментального відкриття фулеренів, говорить про Архімеда (287-212 рр. До н.е.) як про перший дослідника усічених багатогранників, зокрема, усіченого ікосаедра, правда, обумовлюючи, що можливо Архімед привласнює собі цю заслугу і, можливо, ікосаедр усікається задовго до нього. Досить згадати знайдені в Шотландії і датовані близько 2000 р до н.е. сотні кам'яних предметів (по всій видимості, ритуального призначення) в формі сфер і різних багатогранників (тел, обмежених з усіх боків плоскими гранями), включаючи Ікосаедр і додекаедри. Оригінальна робота Архімеда, на жаль, не збереглася, і її результати дійшли до нас, що називається, «з других рук». За часів Відродження все архімедовим тіла одне за одним були «відкриті» заново. Зрештою, Кеплер в 1619 році у своїй книзі «Світова гармонія» ( «Harmonice Mundi») дав вичерпний опис всього набору архімедівських тел - багатогранників, кожна грань яких є правильний багатокутник, а всі вершини знаходяться в еквівалентному положенні (як атоми вуглецю в молекулі С60). Архимедови тіла складаються не менше, ніж з двох різних типівбагатокутників, на відміну від 5 Платонових тіл, всі грані яких однакові (як в молекулі С20, напризаходів).

малюнок 3 . Конструювання архімедовим усіченого ікосаедра
з Платоновим ікосаедра

Отже, як же сконструювати Архимедов усічений ікосаедр з Платонова ікосаедра? Відповідь ілюструється за допомогою рис. 3. Дійсно, як видно з Табл. 1, в будь-який з 12 вершин ікосаедра сходяться 5 граней. Якщо у кожної вершини відрізати (відтяти) 12 частин ікосаедра площиною, то утворюється 12 нових п'ятикутних граней. Разом з уже наявними 20 гранями, які перетворилися після такого відсікання з трикутних в шестикутні, вони складуть 32 грані усіченого ікосаедра. При цьому ребер буде 90, а вершин 60.

Золота пропорція в додекаедрів і ікосаедр.

Додекаедр і двоїстий йому ікосаедр займають особливе місце серед Платонових тел. Перш за все, необхідно підкреслити, що геометрія додекаедру і ікосаедра безпосередньо пов'язана із золотою пропорцією . Дійсно, гранями додекаедра (Рис.1-д) є Пентагону, тобто правильні п'ятикутник, засновані на золотий пропорції. Якщо уважно подивитися на ікосаедр (Рис.1-г), то можна побачити, що в кожній його вершині сходиться п'ять трикутників, зовнішні сторони яких утворюють пентагон. Уже цих фактів достатньо, щоб переконатися в тому, що золота пропорція грає істотну рольв конструкції цих двох Платонових тел.

Але існують більш глибокі математичні підтвердження фундаментальної ролі, яку відіграє золота пропорція в Ікосаедр і додекаедр. Відомо, що ці тіла мають три специфічні сфери. Перша (внутрішня) сфера вписана в тіло і стосується його граней. Позначимо радіус цієї внутрішньої сфери через Ri. Друга або середня сфера стосується її ребер. Позначимо радіус цієї сфери через Rm. Нарешті, третя (зовнішня) сфера описана навколо тіла і проходить через його вершини. Позначимо її радіус через Rc. В геометрії доведено, що значення радіусів зазначених сфер для додекаедру і ікосаедра, що має ребро одиничної довжини, виражається через золоту пропорцію  (Табл. 3).

Таблиця 3. Золота пропорція в сферах додекаедру і ікосаедра

Зауважимо, що ставлення радіусів = однаково, як для ікосаедра, так і для додекаедру. Таким чином, якщо додекаедр і ікосаедр мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери є рівними між собою. доказ цього математичного результатудано в Засадах Евкліда.

В геометрії відомі й інші співвідношення для додекаедру і ікосаедра, що підтверджують їх зв'язок із золотою пропорцією. Наприклад, якщо взяти ікосаедр і додекаедр з довжиною ребра, що дорівнює одиниці, і обчислити їх зовнішній простір і обсяг, то вони виражаються через золоту пропорцію (Табл.4).

Таблиця 4. Золота пропорція у зовнішній площу та об'єм

додекаедру і ікосаедра.

Таким чином, існує величезна кількість співвідношень, отриманих ще античними математиками, що підтверджують чудовий факт, що саме золота пропорція є головною пропорцією додекаедру і ікосаедра, і цей факт є особливо цікавим з точки зору так званої «додекаедрів-ікосаедріческой доктрини», яку ми розглянемо нижче .

Що таке календар?

Російське прислів'я говорить: «Час - око історії». Все, що існує у Всесвіті: Сонце, Земля, зірки, планети, відомі і невідомі світи, і все, що є в природі живого і неживого, все має просторово-часовий вимір. Час вимірюється шляхом спостереження періодично повторюваних процесів певної тривалості.

В основу виміру часу астрономія поклала рух небесних тіл, Яке відображає три фактори: Земля обертається навколо своєї осі, звернення Місяця навколо Землі і рух Землі навколо Сонця. Від того, на якому з цих явищ грунтується вимір часу, залежать і різні поняття часу. Астрономія знає зоряний час, сонячний час, місцевий час, поясний час, Декретний час, атомний час і т.д.

Сонце, як і всі інші світила, бере участь в русі по небосхилу. Крім добового руху, Сонце має так званим річним рухом, а весь шлях річного руху Сонця по небосхилу називається екліптикою. Якщо, наприклад, помітити розташування сузір'їв в який-небудь певний вечірній час, а потім повторювати це спостереження через кожен місяць, то перед нами постане інша картина неба. Вид зоряного неба змінюється безперервно: кожному пори року властива своя картина вечірніх сузір'їв і кожна така картина через рік повторюється. Отже, після закінчення року Сонце щодозірок повертається на колишнє місце.

Для зручності орієнтування в зоряному світі астрономи розділили весь небосхил на 88 сузір'їв. Кожне з них має своє найменування. З 88 сузір'їв особливе місце в астрономії займають ті, через які проходить екліптика. Ці сузір'я, крім власних імен, мають ще узагальнена назва - зодіакальні (від грецького слова «zoop» - тварина). Вони являють собою широко відомі у всьому світі символи (знаки) і алегоричні зображення, що увійшли в календарні системи.

Відомо, що в процесі переміщення по екліптиці Сонце перетинає 13 сузір'їв. Однак астрономи вважали за потрібне розділити шлях Сонця не на 13, а на 12 частин, об'єднавши сузір'я Скорпіон і Змієносець в єдине - під загальною назвоюСкорпіон (чому?).

Проблемами вимірювання часу займається спеціальна наука, яка називається хронологією. Вона лежить в основі всіх календарних систем, створених людством. Створення календарів в давнину було однією з найважливіших завдань астрономії.

Що ж таке «календар» і які існують системи календарів? Слово календар походить від латинського слова calendarium, що буквально означає «боргова книга»; в таких книгах вказувалися перші дні кожного місяця -календи, в які в Стародавньому Риміборжники платили відсотки.

З найдавніших часів в країнах Східної і Південно-Східної Азії при складанні календарів велике значення надавали періодичності руху Сонця, Місяця, а також Юпітера і Сатурна, двох гігантських планет Сонячної системи. Є підстави припускати, що ідея створення юпітеріанского календаря з небесною символікою 12-річного тваринного циклу пов'язана з обертанням Юпітера навколо Сонця, який робить повний оборот навколо Сонця приблизно за 12 років (11,862 року). З іншого боку друга гігантська планета Сонячної системи - Сатурн робить повний оборот навколо Сонця приблизно за 30 років (29, 458 року). Бажаючи узгодити цикли руху гігантських планет, стародавні китайці прийшли до ідеї введення 60-річного циклу Сонячної системи. Протягом цього циклу Сатурн робить 2 повних обертів навколо Сонця, а Юпітер - 5 обертів.

При створенні річних календарів використовуються астрономічні явища: зміна дня і ночі, зміна місячних фаз і зміна пір року. Використання різних астрономічних явищ привело до створення у різних народів трьох типів календарів: місячні, засновані на русі Місяця, сонячні, засновані на русі Сонця, і місячно-сонячні.

Структура єгипетського календаря

Одним з перших сонячних календарів був єгипетський, створений в 4-му тисячолітті до н.е. Спочатку єгипетський календарний рік складався з 360 днів. Рік ділився на 12 місяців рівно по 30 днів в кожному. Однак пізніше було виявлено, що така тривалість календарного року не відповідає астрономічному. І тоді єгиптяни додали до календарного року «хвостик» з 5 днів, які однак не входили до складу місяців. Це були 5 святкових днів, Що з'єднували сусідні календарні роки. Таким чином, єгипетський календарний рік мав наступну числову структуру: 365 = 12ґ 30 + 5. Зауважимо, що саме єгипетський календар є прообразом сучасного календаря.

Виникає питання: чому єгиптяни розділили календарний рік на 12 місяців? Адже існували календарі з іншою кількістю місяців у році. Наприклад, в календарі майя рік складався з 18 місяців по 20 днів у місяці. Наступне питання, що стосується єгипетського календаря: чому кожен місяць мав рівно 30 днів (точніше доби)? Можна поставити деякі питання і з приводу єгипетської системи вимірювання часу, зокрема з приводу вибору таких одиниць часу, як година, хвилина, секунда. Зокрема, виникає питання: чому одиниця години була обрана таким чином, щоб вона рівно 24 рази укладалася в добу, тобто, чому 1 добу = 24 (2ґ 12) години? Далі: чому 1 година = 60 хвилин, а 1 хвилина = 60 секунд? Ці ж питання ставляться і до вибору одиниць кутових величин, зокрема: чому коло розбита на 360 °, тобто, чому 2p = 360 ° = 12ґ 30 °? До цих питань додаються й інші, зокрема: чому астрономи визнали за доцільне вважати, що існує 12 зодіакальних знаків, хоча насправді в процесі свого руху по екліптиці Сонце перетинає 13 сузір'їв? І ще один «дивний» питання: чому вавилонська система числення мала вельми незвичайне підставу - число 60?

Зв'язок єгипетського календаря з числовими характеристиками додекаедру.

Аналізуючи єгипетський календар, а також єгипетські системи вимірювання часу і кутових величин, ми виявляємо, що в них з дивовижною постійністю повторюються чотири числа: 12, 30, 60 і похідне від них число 360 = 12ґ 30. Виникає питання: чи не існує будь то фундаментальної наукової ідеї, яка могла б дати просте і логічне пояснення використання цих чисел в єгипетських системах?

Для відповіді на це питання ще раз звернемося до додекаедрів, зображеному на Рис. 3.1-д. Нагадаємо, що всі геометричні співвідношення додекаедру засновані на золотий пропорції.

Чи знали єгиптяни додекаедр? Історики математики визнають, що стародавні єгиптяни володіли відомостями про правильні многогранниках. Але чи знали вони всі п'ять правильних багатогранників, зокрема додекаедр і ікосаедр, як найбільш складні з них? Давньогрецький математик Прокл приписує побудову правильних багатогранників Піфагору. Але ж багато математичні теореми і результати (зокрема Теорему Піфагора) Піфагор запозичив у стародавніх єгиптян в період своєї вельми тривалої «відрядження» до Єгипту (за деякими відомостями Піфагор прожив в Єгипті протягом 22 років!). Тому ми можемо припустити, що знання про правильні многогранниках Піфагор, можливо, також запозичив у стародавніх єгиптян (а можливо, у древніх вавилонян, бо за легендою Піфагор прожив в стародавньому Вавилоні 12 років). Але існують і інші, більш вагомі докази того, що єгиптяни володіли інформацією про всіх п'яти правильних многогранниках. Зокрема, в Британському Музеї зберігається гральна кістка епохи Птолемеїв, що має форму ікосаедра, тобто «Платонова тіла», дуального додекаедрів. Всі ці факти дають нам право висунути гіпотезу про те, що єгиптянам був відомий додекаедр. І якщо це так, то з цієї гіпотези випливає вельми струнка система, що дозволяє дати пояснення походженню єгипетського календаря, а заодно і походженням єгипетської системи вимірювання тимчасових інтервалів і геометричних кутів.

гармонія циклів сонячної Системи.

Раніше ми встановили, що додекаедр має 12 граней (Пентагон), 30 ребер і 60 плоских кутів на своїй поверхні (Табл. 3.1). Якщо виходити з гіпотези, що єгиптяни знали додекаедр і його числові характеристики 5, 12, 30. 60, то яке ж було їх здивування, коли вони виявили, що цими ж числами виражаються цикли Сонячної системи, а саме, 12-річний цикл Юпітера, 30-річний цикл Сатурна і, нарешті, 60-річний цикл Сонячної системи. При цьому головний цикл Сонячної системи і цикл Юпітера пов'язані наступним числовим співвідношенням: 60 = 12ґ 5 (яке, до речі, збігається з числової структурою масштабної ієрархії Всесвіту!). Таким чином, між такою досконалою просторової фігурою, як додекаедр, і Сонячною системою, існує глибока математична зв'язок! Такий висновок зробили античні вчені. Це і призвело до того, що додекаедр був прийнятий в якості «головної фігури», яка символізувала Гармонію Всесвіту. І тоді єгиптяни вирішили, що всі їхні головні системи (календарна система, система вимірювання часу, система вимірювання кутів) повинні відповідати числовим параметрам додекаедру! Оскільки за поданням древніх рух Сонця по екліптиці мало строго кругової характер, то, вибравши 12 знаків Зодіаку, дуговое відстань між якими дорівнювало рівно 30 °, єгиптяни дивно красиво узгодили річний рух Сонця по екліптиці зі структурою свого календарного року: один місяць відповідав переміщенню Сонця по екліптиці між двома сусідніми знаками Зодіаку! Більш того, переміщення Сонця на один градус відповідало одному дню в єгипетському календарному році! При цьому екліптика автоматично виходила розділеної на 360 °. Розділивши кожну добу на дві частини, слідуючи додекаедрів, єгиптяни потім кожну половину доби розділили на 12 частин (12 граней Додекаедр) і тим самим ввели годину - найважливішу одиницю часу. Поділивши один годину на 60 хвилин (60 плоских кутів на поверхні Додекаедр), єгиптяни таким шляхом ввели хвилину - наступну важливу одиницю часу. Точно також вони ввели секунду - найбільш дрібну на той період одиницю часу.

Таким чином, вибравши додекаедр в якості головної «гармонійної» фігури світобудови, і строго дотримуючись числовим характеристикам додекаедру 12, 30, 60, єгиптянам вдалося побудувати надзвичайно стрункий календар, а також системи вимірювання часу і кутових величин, які існують до теперішнього часу! Ці системи повністю узгоджувалася з їх «Теорією Гармонії», яка, за деякими відомостями, існувала у древніх єгиптян. Ця теорія була заснована на золотий пропорції і виникла задовго до виникнення грецької науки і математики.

Ось такі дивовижні висновки випливають із зіставлення додекаедру з Сонячною системою. І якщо наша гіпотеза правильна (нехай хто-небудь спробує її спростувати), то це означає, що ось уже багато тисячоліть людство живе під знаком золотого перетину! І кожен раз, коли ми дивимося на циферблат наших годин, який також побудований на використанні числових характеристик додекаедру 5,12, 30 і 60, ми торкаємося до головної «Таємниці Всесвіту» - золотий перетин, самі того не підозрюючи!

Про календар і системі числення майя.

Відомо, що календарний рік в календарі майя мав наступну числову структуру: 1 рік = 360 + 5 = 20ґ 18 + 5 днів, звідки випливає, що рік майя розділили на 18 місяців по 20 днів у кожному. Числа 20 і 360 були використані майя в якості «вузлових» чисел своєї системи числення. Однак за своєю структурою календарний рік майя був подібний до структурі єгипетського календарного року: 1 рік = 360 + 5 = 12ґ 30 + 5 днів, в якому числа 12 і 30 були числами додекаедру. Але що таке число 20 в календарі майя? Звернемося знову до Ікосаедр і додекаедр. У цих «сакральних» фігурах є ще одна «священна» числова характеристика - число вершин, яке одне і те ж для додекаедру і ікосаедра і дорівнює числу 20! Таким чином, древні майя, безсумнівно, використовували цю числову характеристику додекаедру і ікосаедра в своєму календарі (розділивши рік на 20 місяців) і в своїй системі числення (вибравши числа 20 і 360 як «вузлових» чисел своєї системи числення).

Додекаедрів-ікосаедрічеськая доктрина.

Згідно зауваженням коментатора останнього видання творів Платона, у нього «вся космічна пропорційність спочиває на принципі золотого поділу, або гармонійної пропорції». Як згадувалося, космологія Платона грунтується на правильних многогранниках, званих тілами Платона. Уявлення про «наскрізний» гармонії світобудови незмінно асоціювалося з її втіленням в цих п'яти правильних многогранниках, які виражали ідею повсюдного досконалості світу. І те, що головна «космічна» фігура - додекаедр, що символізував тіло світу і вселенської душі, був заснований на золотому перетині, надавало останньому особливий сенс, сенс головною пропорції світобудови.

Космологія Платона стала основою, так званої Ікосаедр-додекаедріческой доктрини, яка з тих пір червоною ниткою проходить через всю людську науку. Суть цієї доктрини полягає в тому, що додекаедр і ікосаедр є типові форми природи у всіх її проявах, починаючи з космосу і закінчуючи мікросвітом.

Питання про форму Землі постійно займав розуми вчених античних часів. І коли гіпотеза про кулясту форму Землі отримала підтвердження, виникла ідея про те, що за своєю формою Земля являє собою додекаедр. Так, уже Сократ писав: «Земля, якщо поглянути на неї зверху, схожа на м'яч, зшитий з 12 шматків шкіри».

Ця гіпотеза Сократа знайшла подальше науковий розвитокв працях фізиків, математиків і геологів. Так, французький геолог де Бімон і відомий математик Пуанкаре вважали, що форма Землі являє собою деформований додекаедр.

Російський геолог С. Кісліцин, також поділяв думку про додекаедріческой форму Землі. Він висловив гіпотезу про те, що 400-500 млн. Років тому геосфера додекаедріческой форми перетворилася в гео-ікосаедр. Однак такий перехід виявився неповним і незавершеним, в результаті чого гео-додекаедр виявився вписаним в структуру ікосаедра.

Нещодавно московські інженери В. Макаров і В. Морозов висунули ще одну цікаву гіпотезу, що стосується форми Землі. Вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розвиток всіх природних процесів, що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а точніше, його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедріческой структуру Землі, яка виявляється в тому, що в земній коріяк би проступають проекції вписаних в земну кулюправильних багатогранників: ікосаедра і Додекаедр. Їх 62 вершини і середини ребер, називаних авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища.

В останні рокигіпотеза про Ікосаедр-додекаедріческой форму Землі була піддана перевірці. Для цього вчені поєднали вісь додекаедру з віссю глобуса і, обертаючи навколо неї цей багатогранник, звернули увагу на те, що його ребра збігаються з гігантськими порушеннями земної кори (наприклад, з Серединно-Атлантичним підводним хребтом). Взявши потім ікосаедр як багатогранника, вони встановили, що його ребра збігаються з більш дрібними членениями земної кори (хребти, розломи і т.д.). Ці спостереження підтверджують гіпотезу про близькість тектонічної будови земної кори з формами додекаедру і ікосаедра.Узли гіпотетичного гео-кристала є як би центрами певних аномалій на планеті: у них розташовані всі світові центри екстремального атмосферного тиску, райони зародження ураганів; в одному з вузлів ікосаедра (в Габоні) виявлений «природний атомний реактор», ще працював 1,7 млрд. років тому. До багатьох вузлів багатогранників приурочені гігантські родовища корисних копалин (наприклад, Тюменське родовище нафти), аномалії тваринного світу (оз. Байкал), центри розвитку культур людства ( Стародавній Єгипет, Протоіндійская цивілізація Мохенджо-Даро, Північна Монгольська і т.п.). Всі ці приклади підтверджують дивовижну прозорливість інтуїції Сократа.

Квінтесенцією геометричних уявлень про усьому сущому стали роботи американського дослідника Д. Вінтера, який очолює групу «Планетарні серцебиття». Він є проповідником ідеалу форми, унітарного «золотого перетину», яке подібно до «золотого ланцюжка» з'єднують ген і Всесвіт. Приймаючи концепцію ікосаедрічеськая-додекаедріческой форми Землі, Вінтер розвиває її далі. Він звертає увагу на те, що кут, що описується віссю обертання Землі в ході її прецесії за 26 000 років, становить 32 °. Це в точності так само тому кутку, під яким можна нахилити куб, щоб, обертаючи його потім навколо осі (з п'ятьма зупинками), отримати додекаедр. На думку Вінтера, енергетичний каркас Землі являє собою додекаедр, вставлений в ікосаедр, який, в свою чергу, вставлений в другій додекаедр. Геометричні відносини між зазначеними многогранниками є золотий перетин.

Додекаедріческой структура, на думку Вінтера, властива не тільки енергетичного каркасу Землі, але і будовою живого речовини. І саме, мабуть, головне, що структура ДНК генетичного коду життя являє собою чотиривимірну розгортку (по осі часу) обертового додекаедру! Таким чином, виявляється, що весь Всесвіт - від Метагалактики і до живої клітини - побудована за одним принципом - нескінченно вписуваних один в одного додекаедру і ікосаедра, що знаходяться між собою в пропорції золотого перетину!

А ось ще одне підтвердження плідності додекаедрів-ікосаедріческой доктрини в астрономії, наведене в статті Валерія Шіхіріна «Перспективи розвитку торові технологій, еластичної механіки і« чудеса », творили ними в природі». Відповідно до твердження Шіхіріна, «все« рідкі »зірки і планети, типу Сонця, Юпітера, Сатурна і т.п., формувалися в сверххолодной зоні / осередку деформації звездопрокатного стану галактики в правильні багатогранники, будучи замерзлими. При поступальному переміщенні вивертання природного еластичного тороида-галактики в теплу зону, ці зірки і планети відтавали, тобто ставали рідкими, по крайней мере, на поверхні, і заливали межі багатогранника разом з його ребрами. Япет - супутник Сатурна, не має атмосфери, що не розтанув, зважаючи на недостатність температури для його відтавання ( хімічний склад). Тобто він має тверду глазуревую поверхню-лисину, з якої весь пил, якщо вона була, просто здуло в космічний простірі Япет залишився «в чому мати-Галактика народила», тобто правильним многогранником - додекаедрів. Більш того, на поверхні Япета (Рис. 3, внизу в середині) добре видно так звана «лінія Мажино», точно по екватору оперізуючий планету гірський хребет, як би ділить її на дві рівні частини. Це ніщо інше як задирок (грат, облой, рубчик, заливши, виступ) - надлишковий матеріал, видавлений при поперечно-гвинтової прокатки через зазор між ребордами валків ».

Мал. 3. Супутник Юпітера Япет має форму додекаедра

Роль ікосаедра в розвитку математики.

Ім'я видатного геометра Фелікса Клейна широко відомо в науці. Основні роботи Клейна присвячені неевклідової геометрії, теорії безперервних груп, теорії алгебраїчних рівнянь, теорії еліптичних функцій, теорії автоморфних функцій. Свої ідеї в області геометрії Клейн виклав в роботі «Порівняльне розгляд нових геометричних досліджень» (1872), відомої під назвою Ерлангенськая програма. Крім Ерлангенском програми і інших видатних математичних досягнень, геніальність Фелікса Клейна проявилася також в тому, що 100 років тому він зумів передбачити видатну роль Платонових тіл, зокрема, ікосаедра, в майбутньому розвитку науки, зокрема, математики. У 1884 р (запам'ятаємо цей рік) Фелікс Клейн опублікував ще одну книгу «Лекції про Ікосаедр і вирішенні рівнянь п'ятого ступеня», присвячену геометричній теорії ікосаедра.

Як відомо, ікосаедр (а разом з ним двоїстий до нього додекаедр) займають особливе місце в «живій» природі; форму ікосаедра мають деякі віруси і радіолярії, тобто, ікосаедральная форма і пентагональними симетрія є фундаментальними в організації живої речовини.

У першій частині книги визначено і пояснено місце ікосаедра в математиці. Згідно Ф. Клейн, тканину математики широко і вільно розбігається листами окремих теорій. Але є об'єкти, в яких сходяться кілька листів, - своєрідні точки розгалуження. Їх геометрія пов'язує листи і дозволяє охопити общематематических сенс різних теорій. Саме таким математичним об'єктом, на думку Клейна, є ікосаедр. Клейн трактує ікосаедр як математичний об'єкт, з якого розходяться гілки п'яти математичних теорій: геометрія, теорія Галуа, теорія груп, теорія інваріантів і диференціальні рівняння.

Таким чином, Головна ідеяКлейна надзвичайно проста: «кожен унікальний геометричний об'єкт, так чи інакше, пов'язаний з властивостями ікосаедра».

У чому ж полягає значення ідей видатного математика з точки зору теорії гармонії? Перш за все, в якості об'єкта, що об'єднує «головні листи» математики вибрано «тіло Платона» - ікосаедр, заснований на золотому перетині. Звідси природно випливає думка, що саме Золотий Перетин і є тією головною геометричній ідеєю, яка, згідно з Клейну, може об'єднати всю математику.

Сучасники Клейна не зуміли гідно зрозуміти і оцінити революційний характер «ікосаедріческой» ідеї Клейна. Її значення було зрозуміле рівно через 100 років, тобто тільки в 1984 р, коли ізраїльський фізик Дан Шехтман опублікував замітку, що підтверджує існування спеціальних сплавів (названих квазікристалів), що володіють так званої «ікосаедріческой» симетрією, тобто симетрією 5-го порядку, що строго заборонено класичної кристалографії.

Таким чином, ще в 19-м столітті геніальна інтуїція Фелікса Клейна привела його до думки про те, що одна з найдавніших геометричних фігур - ікосаедр - є головною геометричною фігурою математики. Тим самим Клейн в 19 ст. вдихнув нове життя в розвиток «додекаедрів-ікосаедрічеськая уявлення» про структуру Всесвіту, послідовниками якого були великі вчені і філософи: Платон, який побудував свою космологію на основі правильних багатогранників, Евклід, який присвятив свої «Начала» викладу теорії Платонових тіл, Йоганн Кеплер, котрий використовував Платонова тіла при створенні свого Космічного кубка, вельми оригінальною геометричній моделі Сонячної системи.

Правильні багатогранники навколо нас.

Розмірковуючи про устрій світу, не можна залишити без уваги живу природу. Чи зустрічаються в живій природі правильні багатогранники?

Правильні багатогранники зустрічаються і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодаріі (Circogonia icosahedra) за формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарій живуть на морській глибині і служать здобиччю коралових рибок. Але найпростіше тварина намагається себе захистити: з 12 вершин скелета виходять 12 порожніх голок. На кінцях голок знаходяться зубці, що роблять голку ще більш ефективною при захисті.

Чим же викликана така природна геометризация феодарій? Тим, мабуть, що з усіх багатогранників з тим же числом граней саме ікосаедр має найбільший обсяг при найменшою площіповерхні. Це властивість допомагає морському організму долати тиск водної товщі.

2. Цікаво, що ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх спорах щодо форми деяких вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим, як вважалося раніше. Для того щоб визначити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає точно таку ж тінь - ікосаедр. Його геометричні властивості дозволяють економити генетичну інформацію. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Так, куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих квасцов має форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS має форму додекаедра, сурьменістий сірчанокислий натрій - тетраедра, бор - ікосаедра.

3. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Підтвердженням тому служить форма деяких кристалів. Взяти хоча б кухонну сіль, без якої ми не можемо обійтися. Відомо, що вона добре розчиняється у воді, служить провідником електричного струму. А кристали кухонної солі (NaCl) мають форму куба.

4. При виробництві алюмінію користуються алюмінієво-калієвими квасцами (K · 12H2O), монокристал яких має форму правильного октаедра.

5. Отримання сірчаної кислоти, заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану (FeS). Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедра.

6. У різних хімічних реакціяхзастосовується сурм'янистий сірчанокислий натрій (Na5 (SbO4 (SO4)) - речовина, синтезоване вченими. Кристал сурм'янистого сірчанокислого натрію має форму тетраедра.

7. Останній правильний багатогранник - ікосаедр передає форму кристалів бору (B). Свого часу бор використовувався для створення напівпровідників першого покоління.

Завдяки правильним многогранників, відкриваються не тільки дивовижні властивості геометричних фігур, а й шляхи пізнання природної гармонії.

Цікава наукова гіпотеза, авторами якої (на початку 80-х років) з'явилися московські інженери В. Макаров і В. Морозов. Вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розвиток всіх природних процесів, що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а точніше, його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедріческой структуру Землі, яка виявляється в тому, що в земній корі як би проступають проекції вписаних в земну кулю правильних багатогранників: ікосаедра і Додекаедр. Їх 62 вершини і середини ребер, називаних авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища.

Якщо нанести на глобус вогнища найбільш великих і примітних культур і цивілізацій стародавнього світу, Можна помітити закономірність в їх розташуванні щодо географічних полюсів і екватора планети. Багато поклади корисних копалин тягнуться вздовж ікосаедрово-додекаедровой сітки. Ще більш дивні речі відбуваються в місцях перетину цих ребер: тут розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обская культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану, тут шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать відношення до цієї красивої наукової гіпотези, в якій, як видно, правильні багатогранники займають важливе місце.

Висновок.

В ході роботи над рефератом ми вивчили правильні багатогранники, розглянули їх моделі, виділили і систематизували властивості кожного з багатогранників. Крім цього ми дізналися, що правильні багатогранники з давніх часів привертали увагу вчених, будівельників, архітекторів і багатьох інших. Їх вражала краса, досконалість, гармонія цих багатогранників. Піфагорійці вважали ці багатогранники божественними і використовували їх в своїх філософських творахпро суть світу. Детально описав властивості правильних багатогранників давньогрецький вчений Платон. Правильним многогранників присвячена остання XIII книга знаменитих «Начал» Евкліда. До многогранників зверталися і в більш пізній час. Це видно з наукових праць Йоганна Кеплера.

Список літератури

1. Адамар Ж. Елементарна геометрія. Частина II. Стереометрія. - М .: Учпедгиз, 1938 (або більш пізні видання, наприклад, 3-е изд., 1958). Книга VI. Багатогранники. Додатки: Глава V.
2 . Александров А.Д. Опуклі багатогранники. - М.-Л .; 1950.
3. Болл У., Коксетер Г. Математичні есе і розваги. - М .: Мир, 1986, с.142.
4. Долбілін Н.П. Перлини теорії багатогранників. - М .: МЦНМО, 2000., с.27-31.
5. Люстерник Л.А. Опуклі постаті і багатогранники. - М .; Тисяча дев'ятсот п'ятьдесят шість.
6. Перепьолкін Д.І. курс елементарної геометрії. Частина II. Геометрія в просторі. - М.-Л .: Гостехиздат, 1949, с. 34, с.268.
7. Смирнова І.М. У світі багатогранників. - М .: Просвещение, 1995.
8 . Енциклопедія елементарної математики. Книга IV. Геометрія. - М .; 1963, с. 382.
9. Яглом І.М., Болтянский В.Г. Опуклі постаті. - М.-Л .; Тисяча дев'ятсот п'ятьдесят-один / Бібліотека математичного гуртка, випуск 4.

Михайлова Поліна Когай Юля

метою

ПРОЕКТ

(Стаття з математики)

виконали:

Учениці 11 класу

Михайлова Поліна

когай Юля

керівник:

Учитель математики

Лебедєва Ірина Миколаївна

Ржев 2012

(Л.Керролла)

Вступ

метою нашого дослідження буловивчення правильних багатогранників, їх видів, властивостей.

1. Правильні багатогранники

Рис.1.

2. властивості багатогранників

У дослівному перекладі з

Евклід

Платон і Платонові тіла

багатогранники

земля / вода = повітря / вогонь.

багатогранник	Число сторін межі	число граней	число ребер	число вершин
тетраедр
куб
октаедр
ікосаедр
додекаедр

Архімед Сіракузького

квазіправільнимі

ромбокубооктаедрі ромбоікосододекаедром

висновок

МОУ СЗШ №1 г.Ржева Тверській обл

ПРОЕКТ

Правильні багатогранники навколо нас

(Стаття з математики)

виконали:

Учениці 11 класу

Михайлова Поліна

когай Юля

керівник:

Учитель математики

Лебедєва Ірина Миколаївна

Ржев 2012

Правильних багатогранників зухвало мало,

але цей досить скромний за чисельністю загін

зумів пробратися в самі глибини різних наук.

(Л.Керролла)

Вступ

Є в шкільній геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням,

передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести "Правильні багатогранники". Тут не тільки відкривається

дивовижний світ геометричних тіл, але і неповторні властивості, особливості яких викликають суперечки у вчених і філософів.

Протягом усього життя людина тісно пов'язаний з многогранниками. Незважаючи на відсутність знання таких складних термінів, як «тетраедр», «октаедр», «додекаедр» і ін., Він вже з самого раннього дитинства відчуває інтерес до цих унікальних фігур. Адже суть «кубиків» - однієї з найпопулярніших дитячих ігор - полягає в тому, щоб побудувати з багатогранників об'єкт.

Протягом багатьох століть людей немов притягають ці тіла. Стародавні єгиптяни будували гробниці своїм фараонам (яких вони вважали напівбогами) в формі тетраедра, що ще раз підкреслює велич і цих фігур.

Але не тільки руками людини створюються ці загадкові тіла. Одні з правильних тел зустрічаються в природі у вигляді кристалів, інші - у вигляді вірусів (були виявлені вченими за допомогою електронного мікроскопа). А біологи говорять про те, що шестикутні стільники бджіл, що містять мед, мають форму правильного багатогранника. Існувала гіпотеза, що саме правильна шестикутна форма сот допомагає зберегти корисні властивостіцього цінного продукту.

Так що ж являють собою ці настільки досконалі тіла?

метою нашого дослідження буловивчення правильних багатогранників, їх видів, властивостей.

До завдань нашого дослідження входило:

Дати поняття правильних багатогранників (на основі визначення багатогранників).
Довести існування тільки 5 типів правильних багатогранників.
Розглянути властивості правильних багатогранників.
Познайомитися з цікавими історичними фактами, пов'язаними з правильними многогранниками.
Ознайомлення з історією вивчення багатогранників.
Показати, як можна за допомогою куба побудувати інші види правильних багатогранників.
Розглянути зв'язок правильних багатогранників з природою.

1. Правильні багатогранники

Багатогранник - це частина простору, обмежена сукупністю кінцевого числа плоских багатокутників, з'єднаних таким чином, що кожна сторона будь-якого багатогранника є стороною рівно одного багатокутника. Багатокутники називаються гранями, їх сторони - ребрами, а вершини - вершинами.

Правильним називається багатогранник, у якого всі грані це правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні.

Всього існує п'ять багатогранників - ні більше ні менше. Підтвердити це можна за допомогою розгортки опуклого багатогранного кута. Справді, для того щоб отримати який-небудь правильний багатогранник згідно з його визначенням, в кожній вершині має сходитися однакову кількість граней, кожна з яких є правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута повинна бути менше 360про , Інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде.

Перебираючи можливі цілі рішення нерівностей: 60к

Рис.1.

2. властивості багатогранників

Тетраедр - складений з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутниківі в кожній вершині сходиться по три ребра і по три грані. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180º. У тетраедра: 4 грані, 4 вершини і 6 ребер.

Октаедр - складений з восьми рівносторонніх трикутників. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників і в кожній вершині сходиться по чотири ребра і по чотири грані. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині 240º. У октаедра: 8 граней, 6 вершин і 12 ребер.

Куб - складений з шести квадратів. Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів і в кожній вершині сходиться по три ребра і три грані. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 270º. У нього: 6 граней, 8 вершин і 12 ребер.

Додекаедр - складений з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників і в кожній вершині сходиться по три ребра і три грані. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324º.У додекаедру: 12 граней, 20 вершин і 30 ребер.

3. Історія вивчення багатогранників.

Назви багатогранників прийшли із Стародавньої Греції, в них вказується число граней: «ЕДРА»- грань; «Тетра» - 4; «Гекса» - 6; «Окта» - 8; «Икоса» - 20; «Додека» - 12. У дослівному перекладі з

грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "ікосаедр"

означають: "четирехграннік", "восьмигранник", "шестигранник".

"Двенадцатигранник", "двадцатигранник". Цим красивим тілам присвячена 13-а книга "Начал" Евкліда.

До речі, якщо вже заговорили про Евкліда, то давайте познайомимося з ним ближче. З ним, і з іншими вченими, що вивчали багатогранники.

Евклід (Бл. 300 р. До н.е..) - старогрецький математик.

Основний твір Евкліда називається «Начала». «Начала» складаються з тринадцяти книг. XIII книга присвячена побудові п'яти правильних багатогранників; вважається, що частина побудов була розроблена Теетет Афінським. У дійшли до нас рукописах до цих тринадцяти книг додані ще дві. Деякий «платонізм» Евкліда пов'язаний з тим, що в Тимее Платона розглядається вчення про чотири елементи, яким відповідають чотири правильні багатогранника (тетраедр - вогонь, октаедр - повітря, ікосаедр - вода, куб - земля), п'ятий же багатогранник, додекаедр, «дістався на спадок фігурі всесвіту ». «Начала» можуть розглядатися як розгорнуте з усіма необхідними посилками і зв'язками вчення про побудову п'яти правильних багатогранників - так званих «платонових тел», що завершується доказом того факту, що інших правильних тіл, крім цих п'яти, не існує.

Платон і Платонові тіла

Платон (Platon) (нар. 427 - розум. 347 гг.до н.е.) - грецький філософ. Народився в Афінах. Справжнє ім'я Платона було Арістокл.

багатогранники називають тілами Платона, тому що вони займаливажливе місце у філософській концепції Платона про пристрій світобудови. Чотири багатогранника уособлювали в ній чотири сутності або "стихії". Тетраедр символізував вогонь, тому що його вершина спрямована нагору; ікосаедр - воду, тому що він самий "обтічний"; куб - землю, як самий "стійкий"; октаедр - повітря, як самий "повітряний". П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював в собі "все суще", символізував все світобудову, вважався головним.

Гармонійні стосунки стародавні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії у них були пов'язані такої пропорцією:земля / вода = повітря / вогонь.

Атоми "стихій" налаштовувалися Платоном в скоєних консонансах, як чотири струни ліри. Нагадаю, що консонансом називається приємне співзвуччя. Треба сказати, що своєрідні музичні відносини в платонових тілах є чисто умоглядними і не мають під собою ніякої геометричної основи. Цими відносинами не пов'язані ні число вершин платонових тел, ні обсяги правильних багатогранників, ні число ребер або граней.

У зв'язку з цими тілами доречно буде сказати, що перша система елементів, що включала чотири елементи - землю, воду, повітря і вогонь, - була канонізована Аристотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями світобудови протягом багатьох століть. Цілком можливо ототожнити їх з відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним і плазмовим.

Характеристики платонових тел

багатогранник	Число сторін межі	Число граней, що сходяться в кожній вершині	число граней	число ребер	число вершин
тетраедр
куб
октаедр
ікосаедр
додекаедр

Архімед Сіракузького

Архімед узагальнив поняття правильного багатогранника і відкрив нові математичні об'єкти - напівправильні багатогранники. Так він назвав багатогранники, у яких всі грані - правильні багатокутники більш як одного роду, а все багатогранні кути конгруентний. Тільки в наш час вдалося довести, що тринадцятьма відкритими Архімедом напівправильними многогранниками вичерпується все безліч цих геометричних фігур.

Безліч архімедівських тел можна розбити на кілька груп.

Першу з них становитимуть п'ять багатогранників, які виходять з платонових тел в результаті їх зрізання. Так можна отримати п'ять архімедівських тел: усічений тетраедр, усічений гексаедр (куб), усічений октаедр, усічений додекаедр і усічений ікосаедр.

Іншу групу складають всього два тіла, іменованих такожквазіправільнимімногогранниками. Ці два тіла носять назви:кубооктаедр і ікосододекаедр.

Два наступних багатогранника називаютьсяромбокубооктаедрі ромбоікосододекаедром. Іноді їх називають також «малим ромбокубооктаедр» і «малим ромбоікосододекаедром» на відміну від великого ромбокубооктаедр і великого ромбоікосододекаедра.

Нарешті існують дві так звані «кирпаті» модифікації - одна для куба, інша - для додекаедру. Для кожної з них характерно кілька повернене положення граней, що дає можливість побудувати два різних варіанти одного і того ж «кирпатого» багатогранника (кожен з них являє собою як би
дзеркальне відображення іншого).

Внесок Кеплера в теорію багатогранника - це, по-перше, відновлення математичного змісту загубленого трактату Архімеда про напівправильних опуклих однорідних многогранниках. Ще більш істотним була пропозиція Кеплера розглядати неопуклі багатогранники із зірчастими гранями, подібними пентаграмме і наступне за цим відкриття двох правильних неопуклих однорідних багатогранників - малого зірчастого Додекаедр і великого зірчастого Додекаедр.

Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників (платонових тел). Між кожною парою "небесних сфер", за якими, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одна з платонових тел. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр. Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті, навколо куба описана сфера Сатурна. Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до дійсних (з огляду на доступну тоді точність вимірювання). По-друге, модель Кеплера давала пояснення, чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами. Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один суттєвий недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колу ( "сферам"), а по еліпсам (перший закон Кеплера). Годі й казати, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і більш точним виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.

Ікосаедр-додекаедровая структура Землі.

Існує багато даних про порівняння структур і процесів Землі з правильними многогранниками.

Вважають, що чотирьом геологічним епохам Землі відповідають чотири силових каркаса правильних платонівських тел: Протозоа - тетраедр (чотири плити) Палеозой - гексаедр (шість плит) МЕЗОЗОЙ - октаедр (вісім плит) Кайнозой - додекаедр (дванадцять плит).

Існує гіпотеза, по якій ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розвиток всіх природних процесів, що йдуть на планеті. «Промені» цього кристала, а точніше його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедріческой структуру Землі, яка виявляється в тому, що в земній корі як би проступають проекції вписаних в земну кулю правильних багатогранників: ікосаедра і Додекаедр. 62 їх вершини і середини ребер, звані вузлами, виявляється, мають ряд спеціфічecкіх властивостей, що дозволяють пояснити багато незрозумілі явища.

Ще більш дивні речі відбуваються в місцях перетину цих ребер: тут розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обская культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану, тут шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать відношення до цієї красивої наукової гіпотези, в якій, як видно, правильні багатогранники займають важливе місце.

Радянські інженери В. Макаров і В. Морозов витратили десятиліття на дослідження даного питання. Вони прийшли до висновку, що розвиток Землі йшло поетапно, і в даний час процеси, що відбуваються на поверхні Землі, привели до появи покладів з ікосаедра-додекаедровим візерунком. Ще в 1929 році С.Н. Кісліцин в своїх роботах зіставляв структуру додекаедру-ікосаедра з покладами нафти і алмазів.

В. Макаров і В. Морозов стверджують, що в даний час процеси життєдіяльності Землі мають структуру додекаедру-ікосаедра. Двадцять районів планети (вершини додекаедру) - центри поясів виходить речовини, що засновують біологічне життя (флора, фауна, людина). Центри всіх магнітних аномалій і магнітного поляпланети розташовані в вузлах системи трикутників. До того ж згідно з дослідженнями авторів, в справжню епоху все найближчі небесні тіла свої процеси мають у своєму розпорядженні згідно додекаедрів-ікосаедрной системі, що відмічено у Марса, Венери, Сонця. Аналогічні енергетичні каркаси притаманні всім елементам Космосу (Галактики, зірки і т. Д.). Щось схоже спостерігається і в мікроструктурах. Наприклад, будова аденовірусів має форму ікосаедра.

5. Правильні багатогранники і природа.

Правильні багатогранники - найвигідніші фігури, тому вони широко поширені в природі. Підтвердженням тому служить форма деяких кристалів. Наприклад, кристали кухонної солі мають форму куба. При виробництві алюмінію користуються алюмінієво-калієвими кварцами, монокристал яких має форму правильного октаедра. Отримання сірчаної кислоти, заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану. Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедра. У різних хімічних реакціях застосовується сурьменістий сірчанокислий натрій - речовина, синтезоване вченими. Кристал сурьменістого сірчанокислого натрію має форму тетраедра. Останній правильний багатогранник - ікосаедр передає форму кристалів бору.

Правильні багатогранники зустрічаються так само і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодаріі (Circjgjnia icosahtdra) за формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарій живуть на морській глибині і служать здобиччю коралових рибок. Але найпростіше тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять з 12 вершин скелета. Воно більше схоже на зірчастий багатогранник. З усіх багатогранників з тим же числом граней ікосаедр має найбільший обсяг при найменшій площі поверхні. Це властивість допомагає морському організму долати тиск товщі води.

Ікосаедр виявився в центрі уваги біологів в їх спорах щодо форми вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає точно таку ж тінь - ікосаедр.

висновок

Основною метою представленої роботи було вивчення правильних багатогранників, їх видів і властивостей. Для досягнення це й цілі було проведено порівняльний аналіз навчальної та науково-популярної літератури, а також ресурсів мережі Інтернет.

У процесі дослідження ми вивчили дивні особливості будови правильних багатогранників, їх види та властивості, особливості будови. Познайомилися з цікавими історичними гіпотезами і фактами. Побачили красу, досконалість і гармонію форм цих тіл, які вивчаються вченими протягом багатьох століть і не перестають дивувати нас. Дізналися, що в будові нашої, здавалося б, кулястої планети присутні правильні багатогранники, що ще раз доводить їх значення в навколишньому світі. І багато сучасних вчені схиляються до гіпотези, що речовини в природі складаються саме з цих унікальних фігур.

Підводячи підсумки, можна вважати мети дослідження досягнутими. Надалі тему роботи можна розвивати, наприклад, розглянути використання властивостей, особливостей симетрії правильних багатогранників в архітектурі, техніці, мистецтві.

Список використаної літератури

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрія 10-11 клас - 2008. - №14

2.Потоскуев Є.В., Звавич Л.І. Геометрія 11 клас - Рік випуску 2008 - №4

3.Паповскій В.М. Поглиблене вивчення геометрії в 10-11 класах

4. Веленкін Н.Я. За сторінками підручника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрія - 1 996

5. Математика: Шкільна енциклопедія – 2003

6. Депман І.Я. , Веленкін Н.Я. За сторінками підручника математики - 1989

7. Енциклопедія для дітей. Аванта + Математика - 2003

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ МОСКОВСЬКОЇ ОБЛАСТІ

МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ОБЛАСНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ ІНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ І МЕТОДИКИ ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ

РЕФЕРАТ

ПРАВИЛЬНІ І Напівправильні многогранники

ВИКОНАВЦІ:.

СТУДЕНТКИ 3-ГО КУРСУ 1 ГРУПИ

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНОГО ФАКУЛЬТЕТУ

ПАНКОВА АНАСТАСІЯ ОЛЕГІВНА

АНТОНОВА ОЛЕНА МИКОЛАЇВНА

Г. Орехово-Зуєво

правильних багатогранників

зухвало мало, але цей вельми

скромний за чисельністю загін

зумів пробитися в самі глибини

різних наук.

Л. Керролла.

1. Введення.

Наш реферат присвячений темі правильних і напівправильних багатогранників. Їх вивчали Теєтет, Платон, Евклід, Гипсикл і Папп. Також і нас ці дивовижні тіла не залишили байдужою. Адже їх форма - зразок досконалості!

2. Правильні багатогранники.

багатогранник називається правильним, Якщо: по-перше, він опуклий; по-друге, все його межі - рівні один одному правильні багатокутники; по-третє, в кожній його вершині сходиться однакове число ребер; і, по-четверте, все його двогранні кути рівні.

Виникає питання: скільки ж існує правильних багатогранників? На перший погляд відповідь на це питання дуже простий - стільки ж, скільки існує правильних багатокутників. Однак це не так. В «Засадах Евкліда» ми знаходимо суворе доказ того, що існує тільки п'ять опуклих правильних багатогранників - ні більше ні менше, а їх гранями можуть бути тільки три типи правильних багатокутників: трикутники, квадрати і Пентагон або правильні п'ятикутник (тетраедр, гексаедр (куб) , октаедр, ікосаедр і додекаедр).

Назви правильних багатогранників прийшли з Греції. У дослівному перекладі з грецького «тетраедр», «октаедр», «гексаедр», «додекаедр», «ікосаедр» означають: «четирехграннік», «восьмигранник», «шестигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник». Цим красивим тілам присвячена 13-а книга "Начал" Евкліда.

Всі правильні багатогранники отримали назву Платонових тел, Так як вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про пристрій світобудови.

Платон (427-347 роки до н.е.)

Чотири багатогранника уособлювали в ній чотири сутності або «стихії». Тетраедр символізував вогонь, так як його вершина спрямована нагору; ікосаедр - воду, так як він самий «обтічний»; куб - землю, як самий «стійкий»; октаедр - повітря, як самий «повітряний». П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював в собі «все суще або» «Вселенський розум», символізував все світобудову, вважався головним.

Гармонійні стосунки стародавні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії у них були пов'язані такої пропорцією: земля / вода = повітря / вогонь.

тетраедр – еточетирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників (рис. 1-а). У тетраедра три рівносторонніх трикутника зустрічаються в одній вершині; при цьому їх підстави утворюють новий рівносторонній трикутник. Тетраедр має найменше число граней серед Платонових тіл і є тривимірним аналогом плоского правильного трикутника, який має найменше число сторін серед правильних багатокутників.

Куб або правильний гексаедр - це правильна чотирикутна призма з рівними ребрами, обмежена шістьма квадратами (рис 1-б). Куб, виходить, якщо з'єднати три квадрата в одній точці і потім додати ще три.

октаедр - етовосьміграннік; тіло, обмежене вісьмома трикутниками; правильний октаедр обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатогранників (рис.1-в). У Октаедр в одній вершині зустрічаються чотири трикутники; в результаті виходить піраміда з чотирикутним підставою.

ікосаедр - етодвадцатіграннік, тіло, обмежене двадцятьма багатокутниками; правильний ікосаедр обмежений двадцятьма рівносторонніми трикутниками (рис 1-г).

додекаедр - етодвенадцатіграннік, тіло, обмежене дванадцятьма багатокутниками; правильний п'ятикутник (рис 1-д ). Оноснован на використанні наступного правильного багатокутника - пентагона .

Малюнок 1.Платонова тіла: (а) октаедр ( «Вогонь»), (б) гексаедр або куб ( «Земля»),
(В) октаедр ( «Повітря»), (г) ікосаедр ( «Вода»), (д) додекаедр ( «Вселенський розум»)

Наступним правильним багатокутником є шестикутник. Однак якщо з'єднати три шестикутника в одній точці, то ми отримаємо поверхню, тобто з шестикутників не можна побудувати об'ємну фігуру. Будь-які інші правильні багатокутники вище шестикутника не можуть утворювати тел взагалі. З цих міркувань випливає, що існує тільки п'ять правильних багатогранників, гранями яких можуть бути тільки рівносторонні трикутники, квадрати і Пентагон.

Розгортки правильних багатогранників:

3. Доказ існування п'яти правильних багатогранників.

Ми знаємо, що правильних багатогранників існує тільки п'ять. Тепер спробуємо це довести.

Припустимо, що правильний багатогранник має Г граней, з яких кожна є правильний n-кутник, у кожної вершини сходяться kребер, всього в многограннике Ввершин і Рребер, причому n3, оскільки у кожної вершини сходиться не менше трьох сторін, і k3, оскільки у кожної вершини сходиться не менше трьох ребер .

Вважаючи ребра по гранях, отримаємо: n Г = 2Р.

Кожне ребро належить обидва боки, значить, в творі

Nг число Р подвоєно.

Вважаючи ребра по вершинах, отримаємо: kВ = 2Р, оскільки кожне ребро впирається в 2 вершини. Тоді рівність Ейлера дає:

або. (*)

За умовою, тоді, тобто n і k не можуть бути більше трьох. Наприклад, якби було n = 4 і k = 4, то тоді і прикидки можна перевірити, що і інші значення n і k, великі 3, не задовольняють рівності (*). Значить, або k = 3, або n = 3.

нехай n = 3 , тоді рівність (*) набуде вигляду:

або

Оскільки може набувати значень,,

тобто k = 3, 4, 5.

якщо k = 3, n = 3, То P = 6, Г = В = - це тетраедр (див. Табл. 1).

якщо k = 4, n = 3, То Р = 12, Г =, В = - це октаедр.

якщо k = 5, n = 3, То Р = 30, Г = В = - це ікосаедр.

Нехай тепер k = 3, тоді рівність (*) набуде вигляду:

Звідси випливає, що n може приймати значення 3, 4, 5.

Випадок n = 3 розібраний.

Залишаються два випадки:

n = 4 при k = 3, тоді, тобто Р = 12, Г =, В = - це куб.

n = 5 при k = 3, тоді, Р = 30, Г = 12, В = 30 - це додекаедр.

Ось ми і довели, що існує, п'ять і тільки п'ять правильних опуклих багатогранників. Доказ того, що більше не може бути, міститься в «Засадах» Евкліда, причому автором цього докази вважається Теєтет. Відомо, що протягом декількох років Теєтет складався в Академії і був близький до Платону, і цієї близькістю можна пояснити ту обставину, що Платон виявився знайомим з новітніми у той час відкриттями в області стереометрії.

Основними числовими характеристиками Платонових телє число сторін межі m,число граней n,сходяться в кожній вершині, число граней Г, Число вершин В,число ребер Рі число плоских кутів Уна поверхні багатогранника (табл. 1).

Таблиця 1. Числові характеристики Платонових тел.

Розглядаючи табл. 1, задамося питанням: «чи немає закономірності в зростанні чисел в кожному шпальтах граней, вершин і ребер?» Мабуть, немає. Ось в стовпці «межі» все спочатку пішло добре (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потім намічена закономірність «провалилася» (8 + 2). У стовпці «вершини» немає навіть стабільного зростання. Число вершин то зростає (від 4 до 8, від 6 до 20), а то й убуває (від 8 до 6, від 20 до 12). У стовпці «ребра» закономірності теж не видно.

Ми порівнювали числа всередині одного стовпчика. Але можна розглянути суму чисел в двох стовпчиках, хоча б в шпальтах «межі» і «вершини» (Г + В). Порівняємо нову таблицю своїх підрахунків (див. Табл. 2).

Таблиця 2

Ось тепер закономірність видна.

Сформулюємо її так: «Сума числа граней і вершин дорівнює числу ребер, збільшеному на 2»: Г + В = Р + 2 .

Формула Ейлера

Отже, отримана формула, яка була помічена вже Декартом в 1640 році, а пізніше перевідкриття Ейлером (1 752), ім'я якого з тих пір вона і носить. Формула Ейлеравірна для будь-яких опуклих багатогранників.

Елементи симетрії:

тетраедрне має центру симетрії, але має 3 осі симетрії і 6 площин симетрії.

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаного сфери:

Площа поверхні:

Обсяг тетраедра:

кубмає центр симетрії - центр куба, 9 осей симетрії і 9 площин симетрії.

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаного сфери:

Площа поверхні куба:

Об'емкуба:

октаедрмає центр симетрії - центр октаедра, 9 осей симетрії і 9 площин симетрії.

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаного сфери:

Площа поверхні:

Обсяг октаедра:

ікосаедрмає центр симетрії - центр ікосаедра, 15 осей симетрії і 15 площин симетрії.

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаного сфери:

Площа поверхні:

Обсяг ікосаедра:

додекаедрмає центр симетрії - центр додекаедру, 15 осей симетрії і 15 площин симетрії.

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаного сфери:

Площа поверхні:

Обсяг додекаедру:

5. Теорія Кеплера.

У Європі в XYI - XYII ст. жив і творив чудовий німецький астроном, математик і великий фантазер Йоганн Кеплер (1571-1630).

Кеплер дійсно виступав в науці як астроном, математик і фантазер. Якби в ньому не було хоча б одного з названих якостей, то він не зміг би досягти таких висот у науці.

На основі узагальнення даних, отриманих в результаті спостережень, він встановив три закони руху планет відносно Сонця.

перший закон: Кожна планета рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

другий закон: Кожна планета рухається в площині, що проходить через центр Сонця, причому площа сектора орбіти, описана радіус-вектором, змінюється пропорційно часу.

третій закон: Квадрати часу обертання планети навколо Сонця відносяться, як куби їх середніх відстаней від Сонця.

Але це були тільки гіпотези, поки їх не пояснив і уточнив на основі закону всесвітнього тяжінняІсаак Ньютон (1643-1727), який створив теорію руху небесних тіл, яка довела свою життєздатність тим, що з її допомогою люди навчилися передбачати багато небесні явища.

Але уявімо себе на місці Кеплера. Перед ним різні таблиці-стовпчики цифр. Це результати спостережень - як його власних, так і великих попередників-астрономів. У цьому морі обчислювальної роботи людина хоче знайти деяку закономірність. Що підтримує його в такому грандіозному задумі? По-перше, віра в гармонію, впевненість в тому, що світобудова влаштовано закономірно, а значить, закони його устрою можна виявити. А по-друге, фантазія в поєднанні з терпінням і чесністю. Справді, ну треба ж від чогось відштовхнутися! Шукані закони треба спочатку придумати у власній голові, а потім перевіряти їх спостереженнями.

Спочатку Кеплера спокусила думка про те, що існує всього, п'ять правильних багатогранників і всього шість (як здавалося тоді) планет Сонячної системи: Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер, Сатурн. Здалося, що гармонія світу і любов природи до повторенням зробили правильні багатогранники сполучними ланками між шістьма небесними тілами. Кеплер припустив, що сфери планет зв'язані між собою вписаними в них Платоновим тілами. Так як для кожного правильного багатогранника центри вписаної і описаної сфер збігаються, то вся модель буде мати єдиний центр, в якому розташовується Сонце.

Кеплер виконав величезну обчислювальну роботу, щоб підтвердити свої припущення. У 1596 році він випустив книгу, в якій вони були викладені. Згідно з цими припущеннями, в сферу орбіти Сатурна можна вписати куб, в який вписується сфера орбіти Юпітера. У неї, в свою чергу, вписується тетраедр, описаний близько сфери орбіти Марса. У сферу орбіти Марса вписується додекаедр, в який вписується сфера орбіти Землі. А вона описана близько ікосаедра, в який вписана сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети описана близько октаедра, в який вписується сфера Меркурія. Така модель Сонячної системи отримала назву «Космічного кубка» Кеплера.

6. Завдання про перевірку космічної теорії Платонових тел.

Можна перевірити самим космічну теорію Платонових тел. Розглянемо задачу:

«Середні радіуси орбіти Сатурна і Юпітера рівні відповідно Rс = 1, 427 х 10 9 км і Rю = 0,788 х 10 9 км. Знайдіть відношення радіусів орбіт зазначених планет і порівняйте знайдене відношення з відношенням радіусів описаного навколо куба і вписаною в нього сфер ».

Відповідно до гіпотези Кеплера ці відносини повинні бути рівні. Отже, зі спостережень маємо:

Відповідно до гіпотези в сферу орбіти Сатурна вписаний куб, нехай його ребро дорівнює а. Тоді радіус вписаного кола дорівнює половині діагоналі вписаного куба, тобто але і тоді. В цей куб вписана сфера (орбіта Юпітера). Позначимо її радіус через r. Він дорівнює половині ребра куба, тобто . тоді .

Як бачимо, розбіжність між теоретичним ставленням R: r і контрольоване Rс: Rю не так вже й велика, менш 0,1. А для космічних масштабів воно начебто і допустимо. Ці «майже збіги» і змушували Кеплера довго триматися за теорію платонових тел, оскільки легко було запідозрити помилку в спостереженнях.

Рік за роком він уточнював свої спостереження, перевіряв дані колег, але, нарешті, знайшов в собі сили відмовитися від привабливої гіпотези. Однак її сліди проглядаються в третьому законі Кеплера, де йдеться про кубах середніх відстаней від Сонця.

Яким чином вони могли з'явитися в свідомості людини, якби він не міркував про обсяг просторових тіл? Адже саме обсяг, як ми знаємо, виражається кубами лінійних розмірів тіл. Але це теж гіпотеза, гіпотеза про те, як були знайдені закони Кеплера. У нас немає можливості її перевірити, але ми твердо знаємо одне: без гіпотез, іноді найнесподіваніших, здавалося б, маячних, не може існувати наука.

напівправильні багатогранники

Відомо ще безліч скоєних тіл, які отримали назву напівправильних багатогранниківабо Архімедівських тел.У них також все багатогранні кути рівні і всі грані - правильні багатокутники, але кілька різних типів. Існує 13 напівправильних багатогранників, відкриття яких приписується Архімеда.

Архімед (287 м до н.е. - 212 р до н.е.)


(А)	(Б)	(В)


(Г)	(Д)

Малюнок 2. архімедовим тіла: (а) усічений тетраедр, (б) усічений куб, (в) усічений октаедр, (г) усічений додекаедр, (д) усічений ікосаедр

У своїй Нобелівській лекції американський вчений Смолли, один з авторів експериментального відкриття фулеренів, говорить про Архімеда (287-212 рр. До н.е.) як про перший дослідника усічених багатогранників, зокрема, усіченого ікосаедра, Правда, обумовлюючи, що можливо Архімед привласнює собі цю заслугу і, можливо, Ікосаедр усікається задовго до нього. Досить згадати знайдені в Шотландії і датовані близько 2000 р до н.е. сотні кам'яних предметів (по всій видимості, ритуального призначення) в формі сфер і різних багатогранників (тел, обмежених з усіх боків плоскими гранями), включаючи Ікосаедр і додекаедри. Оригінальна робота Архімеда, на жаль, не збереглася, і її результати дійшли до нас, що називається, «з других рук». За часів Відродження все архимедови тілаодне за одним були «відкриті» заново. Зрештою, Кеплер в 1619 році у своїй книзі «Світова гармонія» ( «Harmonice Mundi») дав вичерпний опис всього набору архімедівських тел - багатогранників, кожна грань яких є правильний багатокутник, а всі вершини знаходяться в еквівалентному положенні (як атоми вуглецю в молекулі З 60). Архимедови тіла складаються не менше, ніж з двох різних типів багатокутників, на відміну від 5 Платонових тел, Всі грані яких однакові (як в молекулі З 20, наприклад).

Малюнок 3. Конструювання архімедовим усіченого ікосаедра
з Платоновим ікосаедра

Отже, як же сконструювати Архимедов усічений ікосаедрз Платонова ікосаедра? Відповідь ілюструється за допомогою рис. 3. Дійсно, як видно з Табл. 1, в будь-який з 12 вершин ікосаедра сходяться 5 граней. Якщо у кожної вершини відрізати (відтяти) 12 частин ікосаедра площиною, то утворюється 12 нових п'ятикутних граней. Разом з уже наявними 20 гранями, які перетворилися після такого відсікання з трикутних в шестикутні, вони складуть 32 грані усіченого ікосаедра. При цьому ребер буде 90, а вершин 60.

Додекаедр і двоїстий йому ікосаедр займають особливе місце серед Платонових тел. Перш за все, необхідно підкреслити, що геометрія додекаедруі ікосаедрабезпосередньо пов'язана із золотою пропорцією. Дійсно, гранями додекаедру(Рис.1-д) є Пентагон, Тобто правильні п'ятикутник, засновані на золотий пропорції. Якщо уважно подивитися на ікосаедр(Рис.1-г), то можна побачити, що в кожній його вершині сходиться п'ять трикутників, зовнішні сторони яких утворюють пентагон. Уже цих фактів достатньо, щоб переконатися в тому, що золота пропорція грає істотну роль в конструкції цих двох Платонових тел .

Але існують більш глибокі математичні підтвердження фундаментальної ролі, яку відіграє золота пропорція в ікосаедрі додекаедрів. Відомо, що ці тіла мають три специфічні сфери. Перша (внутрішня) сфера вписана в тіло і стосується його граней. Позначимо радіус цієї внутрішньої сфери через R i. Друга або середня сфера стосується її ребер. Позначимо радіус цієї сфери через R m.Нарешті, третя (зовнішня) сфера описана навколо тіла і проходить через його вершини. Позначимо її радіус через R c. В геометрії доведено, що значення радіусів зазначених сфер для додекаедруі ікосаедра, Що має ребро одиничної довжини, виражається через золоту пропорцію t (Табл. 3).

R c	R m	R i
ікосаедр
додекаедр

Таблиця 3. Золота пропорція в сферах додекаедру і ікосаедра

Зауважимо, що ставлення радіусів = однаково, як для ікосаедра, Так і для додекаедру. Таким чином, якщо додекаедрі ікосаедрмають однакові вписані сфери, то їх описані сфери є рівними між собою. Доказ цього математичного результату дано в засадахЕвкліда.

В геометрії відомі й інші співвідношення для додекаедруі ікосаедра, Що підтверджують їх зв'язок із золотою пропорцією. Наприклад, якщо взяти ікосаедрі додекаедрз довжиною ребра, що дорівнює одиниці, і обчислити їх зовнішній простір і обсяг, то вони виражаються через золоту пропорцію (Табл.4).

Таблиця 4. Золота пропорція у зовнішній площу та об'єм

додекаедру і ікосаедра.

Таким чином, існує величезна кількість співвідношень, отриманих ще античними математиками, що підтверджують чудовий факт, що саме золота пропорція є головною пропорцією додекаедру і ікосаедра, І цей факт є особливо цікавим з точки зору так званої «Додекаедрів-ікосаедріческой доктрини»,яку ми розглянемо нижче.

9. Що таке календар?

В основу виміру часу астрономія поклала рух небесних тіл, яке відображає три фактори: Земля обертається навколо своєї осі, звернення Місяця навколо Землі і рух Землі навколо Сонця. Від того, на якому з цих явищ грунтується вимір часу, залежать і різні поняття часу. Астрономія знає зоряний час, сонячний час, місцевий час, поясний час, декретний час, атомний час і т.д.

10. Структура єгипетського календаря

Одним з перших сонячних календарів був єгипетський, створений в 4-му тисячолітті до н.е. Спочатку єгипетський календарний рік складався з 360 днів. Рік ділився на 12 місяців рівно по 30 днів в кожному. Однак пізніше було виявлено, що така тривалість календарного року не відповідає астрономічному. І тоді єгиптяни додали до календарного року «хвостик» з 5 днів, які однак не входили до складу місяців. Це були 5 святкових днів, що з'єднували сусідні календарні роки. Таким чином, єгипетський календарний рік мав наступну числову структуру: 365 = 12ґ 30 + 5. Зауважимо, що саме єгипетський календар є прообразом сучасного календаря.

11. Зв'язок єгипетського календаря з числовими характеристиками додекаедру.

12. Гармонія циклів Сонячної Системи.

13. Про календар і системі числення майя.

Ця гіпотеза Сократа знайшла подальше наукове розвиток в працях фізиків, математиків і геологів. Так, французький геолог де Бімон і відомий математик Пуанкаре вважали, що форма Землі являє собою деформований додекаедр.

Нещодавно московські інженери В. Макаров і В. Морозов висунули ще одну цікаву гіпотезу, що стосується форми Землі. Вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розвиток всіх природних процесів, що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а точніше, його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедріческой структуру Землі, яка виявляється в тому, що в земній корі як би проступають проекції вписаних в земну кулю правильних багатогранників: ікосаедра і Додекаедр. Їх 62 вершини і середини ребер, називаних авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища.

В останні роки гіпотеза про Ікосаедр-додекаедріческой форму Землі була піддана перевірці. Для цього вчені поєднали вісь додекаедру з віссю глобуса і, обертаючи навколо неї цей багатогранник, звернули увагу на те, що його ребра збігаються з гігантськими порушеннями земної кори (наприклад, з Серединно-Атлантичним підводним хребтом). Взявши потім ікосаедр як багатогранника, вони встановили, що його ребра збігаються з більш дрібними членениями земної кори (хребти, розломи і т.д.). Ці спостереження підтверджують гіпотезу про близькість тектонічної будови земної кори з формами додекаедру і ікосаедра.Узли гіпотетичного гео-кристала є як би центрами певних аномалій на планеті: у них розташовані всі світові центри екстремального атмосферного тиску, райони зародження ураганів; в одному з вузлів ікосаедра (в Габоні) виявлений «природний атомний реактор», ще працював 1,7 млрд. років тому. До багатьох вузлів багатогранників приурочені гігантські родовища корисних копалин (наприклад, Тюменське родовище нафти), аномалії тваринного світу (оз. Байкал), центри розвитку культур людства (Древній Єгипет, протоіндійская цивілізація Мохенджо-Даро, Північна Монгольська і т.п.). Всі ці приклади підтверджують дивовижну прозорливість інтуїції Сократа.

А ось ще одне підтвердження плідності додекаедрів-ікосаедріческой доктрини в астрономії, наведене в статті Валерія Шіхіріна «Перспективи розвитку торові технологій, еластичної механіки і« чудеса », творили ними в природі». Відповідно до твердження Шіхіріна, «все« рідкі »зірки і планети, типу Сонця, Юпітера, Сатурна і т.п., формувалися в сверххолодной зоні / осередку деформації звездопрокатного стану галактики в правильні багатогранники, будучи замерзлими. При поступальному переміщенні вивертання природного еластичного тороида-галактики в теплу зону, ці зірки і планети відтавали, тобто ставали рідкими, по крайней мере, на поверхні, і заливали межі багатогранника разом з його ребрами. Япет - супутник Сатурна, не має атмосфери, що не розтанув, зважаючи на недостатність температури для його відтавання (хімічний склад). Тобто він має тверду глазуревую поверхню-лисину, з якої весь пил, якщо вона була, просто здуло в космічний простір і Япет залишився «в чому мати-Галактика народила», тобто правильним многогранником - додекаедрів. Більш того, на поверхні Япета (Рис. 3, внизу в середині) добре видно так звана «лінія Мажино», точно по екватору оперізуючий планету гірський хребет, як би ділить її на дві рівні частини. Це ніщо інше як задирок (грат, облой, рубчик, заливши, виступ) - надлишковий матеріал, видавлений при поперечно-гвинтової прокатки через зазор між ребордами валків ».

Мал. 3. Супутник Юпітера Япет має форму додекаедра

15. Роль ікосаедра в розвитку математики.

Таким чином, головна ідея Клейна надзвичайно проста: «кожен унікальний геометричний об'єкт, так чи інакше, пов'язаний з властивостями ікосаедра».

16. Правильні багатогранники навколо нас.

1. Правильні багатогранники зустрічаються і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодаріі (Circogoniaicosahedra) за формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарій живуть на морській глибині і служать здобиччю коралових рибок. Але найпростіше тварина намагається себе захистити: з 12 вершин скелета виходять 12 порожніх голок. На кінцях голок знаходяться зубці, що роблять голку ще більш ефективною при захисті.

Чим же викликана така природна геометризация феодарій? Тим, мабуть, що з усіх багатогранників з тим же числом граней саме ікосаедр має найбільший обсяг при найменшій площі поверхні. Це властивість допомагає морському організму долати тиск водної товщі.

2. Цікаво, що ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх спорах щодо форми деяких вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим, як вважалося раніше. Для того щоб визначити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає точно таку ж тінь - ікосаедр. Його геометричні властивості дозволяють економити генетичну інформацію. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Так, куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих квасцов має форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS має форму додекаедра, сурьменістий сірчанокислий натрій - тетраедра, бор - ікосаедра.

3. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Підтвердженням тому служить форма деяких кристалів. Взяти хоча б кухонну сіль , Без якої ми не можемо обійтися. Відомо, що вона добре розчиняється у воді, служить провідником електричного струму. А кристали кухонної солі (NaCl) мають форму куба.

4. При виробництві алюмінію користуються алюмінієво-калієвими квасцами (K · 12H 2 O), монокристал яких має форму правильного октаедра.

5. Отримання сірчаної кислоти, заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану (FeS). Кристали цієї хімічної речовини мають форму додекаедра.

6. У різних хімічних реакціях застосовується сурм'янистий сірчанокислий натрій (Na 5 (SbO 4 (SO 4)) - речовина, синтезоване вченими. Кристал сурм'янистого сірчанокислого натріюмає форму тетраедра.

7. Останній правильний багатогранник - ікосаедр передає форму кристалів бору (B). Свого часу бор використовувався для створення напівпровідників першого покоління.

Завдяки правильним многогранників, відкриваються не тільки дивовижні властивості геометричних фігур, а й шляхи познаніяпріродной гармонії.

Інт евій наукова гіпотеза, авторами якої (на початку 80-х років) з'явилися московські інженери В. Макаров і В. Морозов. Вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розвиток всіх природних процесів, що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а точніше, його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедріческой структуру Землі, яка виявляється в тому, що в земній корі як би проступають проекції вписаних в земну кулю правильних багатогранників: ікосаедра і Додекаедр. Їх 62 вершини і середини ребер, називаних авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі незрозумілі явища.

Якщо нанести на глобус вогнища найбільш великих і примітних культур і цивілізацій Стародавнього світу, можна помітити закономірність в їх розташуванні щодо географічних полюсів і екватора планети. Багато поклади корисних копалин тягнуться вздовж ікосаедрово-додекаедровой сітки. Ще більш дивні речі відбуваються в місцях перетину цих ребер: тут розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обская культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану, тут шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать відношення до цієї красивої наукової гіпотези, в якій, як видно, правильні багатогранники займають важливе місце.

Висновок.

В ході роботи над рефератом ми вивчили правильні багатогранники, розглянули їх моделі, виділили і систематизували властивості кожного з багатогранників. Крім цього ми дізналися, що правильні багатогранники з давніх часів привертали увагу вчених, будівельників, архітекторів і багатьох інших. Їх вражала краса, досконалість, гармонія цих багатогранників. Піфагорійці вважали ці багатогранники божественними і використовували їх в своїх філософських творах про суть світу. Детально описав властивості правильних багатогранників давньогрецький вчений Платон. Правильним многогранників присвячена остання XIII книга знаменитих «Начал» Евкліда. До многогранників зверталися і в більш пізній час. Це видно з наукових праць Йоганна Кеплера.

Стахов О.П. Додекаедр, таємниця Єгипетського календаря, цикли Сонячної Системи і «Арифметика Всесвіту» // «Академія Тринітаризму», М., Ел № 77-6567, публ.13065, 10.03.2006

На тему: «Тіла Платона»

«Правильні багатогранники»

Багатогранний-ник

Число сторін межі, m

Число граней, що сходяться у вершині, n

число граней

число вершин

число ребер

Число плоских кутів на поверхні

Гексаедр (куб)

м Москви Сурін М. Н.

Савельєв К. А.

Москва 3.03.1999 рік

тіла Платона

правильні багатогранники

Є в шкільній геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням,

передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна

віднести "Правильні багатогранники". Тут не тільки відкривається

дивовижний світ геометричних тіл, які мають неповторними властивостями, але і

цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним

дослідженням несподіваних сторін звичного шкільного предмета.

Жодні геометричні тіла не мають такою досконалістю і красою, як

правильні багатогранники. "Правильних багатогранників зухвало мало, -

написав колись Л. Керолл, - але цей досить скромний за чисельністю загін

зумів пробратися в самі глибини різних наук ".

Яке ж це зухвало малу кількість і чому їх саме стільки. А скільки?

Виявляється, рівно п'ять - ні більше ні менше. Підтвердити це можна за допомогою

розгортки опуклого багатогранного кута. Справді, для того щоб отримати

який-небудь правильний багатогранник згідно з його визначенням, в кожній вершині

має сходитися однакову кількість граней, кожна з яких є

правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута повинна бути

менше 360о, інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде.

Перебираючи можливі цілі рішення нерівностей: 60к< 360, 90к < 360 и 108к

< 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число

плоских кутів, що сходяться в одній вершині багатогранника), рис.1.

Назви правильних багатогранників прийшли з Греції. У дослівному перекладі з

грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "ікосаедр"

означають: "четирехграннік", "восьмигранник", "шестигранник".

"Двенадцатигранник", "двадцатигранник". Цим красивим тілам присвячена 13-а

книга "Начал" Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, тому що вони займали

важливе місце у філософській концепції Платона про пристрій світобудови. Чотири

багатогранника уособлювали в ній чотири сутності або "стихії". тетраедр

символізував вогонь, тому що його вершина спрямована нагору; ікосаедр - воду,

тому він самий "обтічний"; куб - землю, як самий "стійкий"; октаедр -

повітря, як самий "повітряний". П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював в собі

"Все суще", символізував все світобудову, вважався головним.

Гармонійні стосунки стародавні греки вважали основою світобудови, тому чотири

стихії у них були пов'язані такої пропорцією: земля / вода = повітря / вогонь.

Атоми "стихій" налаштовувалися Платоном в скоєних консонансах, як чотири

струни ліри. Нагадаю, що консонансом називається приємне співзвуччя. треба

сказати, що своєрідні музичні відносини в платонових тілах є

чисто умоглядними і не мають під собою ніякої геометричної основи. цими

відносинами не пов'язані ні число вершин платонових тел, ні обсяги правильних

багатогранників, ні число ребер або граней.

У зв'язку з цими тілами доречно буде сказати, що перша система елементів,

включала чотири елементи - землю, воду, повітря і вогонь, - була

канонізована Аристотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними

камінням світобудови протягом багатьох століть. Цілком можливо ототожнити їх з

відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним

і плазмовим.

Важливе місце займали правильні багатогранники в системі гармонічного

устрою світу І. Кеплера. Все та ж віра в гармонію, красу і

математично закономірне пристрій світобудови привела І. Кеплера до думки про

тому, що оскільки існує п'ять правильних багатогранників, то їм

відповідають тільки шість планет. На його думку, сфери планет зв'язані між

собою вписаними в них Платоновим тілами. Оскільки для кожного правильного

багатогранника центри вписаної і описаної сфер збігаються, то вся модель

матиме єдиний центр, в якому буде знаходитися Сонце.

Проробивши величезну обчислювальну роботу, в 1596 р І. Кеплер в книзі "Таємниця

вписує куб, в куб - сферу Юпітера, в сферу Юпітера - тетраедр, і так далі

послідовно вписуються один в одного сфера Марса - додекаедр, сфера Землі

Ікосаедр, сфера Венери - октаедр, сфера Меркурія. Таємниця світобудови здається

відкритою.

Сьогодні можна з упевненістю сказати, що відстані між планетами НЕ

пов'язані ні з якими многогранниками. Втім, можливо, що без "Таємниці

світобудови "," Гармонії світу "І. Кеплера, правильних багатогранників не було б

трьох знаменитих законів И. Кеплера, які відіграють важливу роль в описі

руху планет.

Де ще можна побачити ці дивовижні тіла? У дуже красивою книзі німецького

біолога початку нашого століття Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна

кількість дивовижних створінь, які по красі і різноманітності далеко

перевершують всі створені мистецтвом людини форми ". Створення природи,

наведені в цій книзі, красиві і симетричні. Це невіддільне властивість

природної гармонії. Але тут видно і одноклітинні організми - феодаріі,

форма яких точно передає ікосаедр. Чим же викликана така природна

геометризация? Може бути, тим, що з усіх багатогранників з таким же

кількістю граней саме ікосаедр має найбільший обсяг і найменшу

площа поверхні. Це геометричне властивість допомагає морському

мікроорганізму долати тиск водної товщі.

Цікаво й те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх

суперечках щодо форми вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим,

як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні

багатогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів

на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає точно таку ж тінь -

ікосаедр. Його геометричні властивості, про які говорилося вище, дозволяють

економити генетичну інформацію. Правильні багатогранники - найвигідніші

фігури. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам

речовин мають форму правильних багатогранників. Так, куб передає форму

кристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих квасцов

(KAlSO4) 2 12Н2О має форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS має

форму додекаедра, сурьменістий сірчанокислий натрій - тетраедра, бор -

ікосаедра. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних решіток

деяких хімічних речовин. Проілюструю цю думку наступним завданням.

Завдання.Модель молекули метану CH4 має форму правильного тетраедра, в

чотирьох вершинах якого знаходяться атоми водню, а в центрі - атом вуглецю.

Визначити кут зв'язку між двома СН зв'язками.

Рішення.Так як правильний тетраедр має шість рівних ребер, то можна

підібрати такий куб, щоб діагоналі його граней були ребрами правильного

тетраедра (рис.2). Центр куба є і центром тетраедра, адже чотири вершини

тетраедра є і вершинами куба, а описувана біля них сфера однозначно

визначається чотирма точками, що не лежать в одній площині. Шуканий кут j

між двома СН зв'язками дорівнює кутуАОС. Трикутник АОС-рівнобедрений. звідси,

де а - сторона куба, d- довжина діагоналі бічної грані або ребро тетраедра.

Отже, звідки = 54,73561О і j = 109,47О

Ідеї Піфагора, Платона, І. Кеплера про зв'язок правильних багатогранників з

гармонійним пристроєм світу вже в наш час знайшли своє продовження в

московські інженери В. Макаров і В. Морозов. Вони вважають, що ядро

Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на

розвиток всіх природних процесів, що йдуть на планеті. Промені цього кристала, а

точніше, його силове поле, обумовлюють Ікосаедр-додекаедріческой структуру

Землі (рис.3), яка виявляється в тому, що в земній корі як би проступають

проекції вписаних в земну кулю правильних багатогранників: ікосаедра і

додекаедру. Їх 62 вершини і середини ребер, називаних авторами вузлами,

мають ряд специфічних властивостей, що дозволяють пояснити деякі

незрозумілі явища.

Якщо нанести на глобус вогнища найбільш великих і примітних культур і

цивілізацій Стародавнього світу, можна помітити закономірність в їх розташуванні

щодо географічних полюсів і екватора планети. багато поклади

корисних копалин тягнуться вздовж ікосаедрово-додекаедровой сітки. Ще більш

дивовижні речі відбуваються в місцях перетину цих ребер: тут

розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна

Монголія, Гаїті, Обская культура та інші. У цих точках спостерігаються

максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового

океану, тут шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. подальші

дослідження Землі, можливо, визначать відношення до цієї красивої наукової

гіпотезі, в якій, як видно, правильні багатогранники займають важливе

Отже, було з'ясовано, що правильних багатогранників рівно п'ять. А як

визначити в них кількість ребер, граней, вершин? Це неважко зробити для

багатогранників з невеликим числом ребер, а як, наприклад, отримати такі

відомості для ікосаедра? Знаменитий математик Л. Ейлер отримав формулу В + Г

Р = 2, яка пов'язує число вершин / В /, граней / Г / і ребер / Р / будь-якого

багатогранника. Простота цієї формули полягає в тому, що вона не пов'язана ні

з відстанню, ні з кутами. Для того щоб визначити число ребер, вершин і

граней правильного багатогранника, знайдемо спочатку число до = 2у - ху + 2х, де х -

число ребер, що належать одній грані, у - число граней, що сходяться в одній

вершині. Для знаходження кількості граней, вершин і ребер правильного

багатогранника використовуємо формули. Після цього неважко заповнити таблицю, в

якій наведено відомості про елементи правильних багатогранників:

багатогранник Р О Р

тетраедр 4-4-6

гексаедр 6-8-12

октаедр 8-6-12

додекаедр 12-20-30

ікосаедр 20-12-30

І ще одне питання виникає у зв'язку з правильними многогранниками: чи можна

ними заповнити простір так, щоб між ними не було просвітів? він

виникає за аналогією з правильними багатокутниками, деякими з яких

можна заповнити площину. Виявляється, заповнити простір можна тільки з

допомогою одного правильного багатогранника-куба. Простір можна заповнити і

ромбічними додекаедрів. Щоб це зрозуміти, треба вирішити задачу.

Завдання.За допомогою семи кубів, що утворюють просторовий "хрест",

побудуйте ромбододекаедра і покажіть, що ними можна заповнити простір.

Рішення.Кубами можна заповнити простір. Розглянемо частину кубічної

решітки, зображеної на рис.4. Середній куб залишимо недоторканим, а в кожному з

"Оздоблюють" кубів проведемо площини через всі шість пар протилежних

ребер. При цьому "оздоблюють" куби розіб'ються на шість рівних пірамід з

квадратними підставами і бічними ребрами, рівними половині діагоналі куба.

Піраміди, що примикають до недоторканого куба, і утворять разом з останнім

ромбічний додекаедр. Звідси ясно, що ромбічними додекаедрів можна

заповнити весь простір. Як наслідок отримуємо, що обсяг ромбического

додекаедру дорівнює подвоєному обсягом куба, ребро якого збігається з меншою

діагоналлю грані додекаедру.

Вирішуючи останню задачу, ми прийшли до ромбічних додекаедрів. Цікаво, що

бджолині осередки, які також заповнюють простір без просвітів, також

є в ідеалі геометричними фігурами. Верхня частина бджолиної комірки

являє собою частину ромбододекаедра.

Отже, правильні багатогранники відкрили нам спроби вчених наблизитися до

таємниці світової гармонії і показали надзвичайну привабливість геометрії.