Kaj je transcendenca in kaj je tisto, česar ne moremo spoznati sami?

ruska literatura 

Ilja Ščurov

Matematik Illya Shchurov o desetih ulomkih, transcendenci in iracionalnosti števila Pi. Kako je "eno" pomagalo ustvariti prva mesta in velike imperije? Kako so vidni umi človeštva odtekali? Kakšno vlogo je imel videz penijev? Kako se je »ena« ujemala z ničlo za urejanje

po trenutnem svetu

?

Zgodovina enote je neločljivo povezana z zgodovino evropske civilizacije.

Terry Jones se odpravi na šaljivo potovanje z metodo združevanja stvari. neverjetna zgodba izračun π, uporaba računalnikov.

O iracionalnosti in transcendentnosti π in drugih števil.

Za razumevanje tečaja ni potrebno predznanje.

Znanstveniki z univerze v Oxfordu so izjavili, da zgodnja znana uporaba številke 0 za označevanje pomena ranga (kot je številka 101) sledi besedilu indijskega rokopisa Bakhshali.

Vasil Pispanen

Kdo od otroštva ne teži k "imenu največjega števila"? Milijone, trilijone in druge "-oni" je že težko prikazati v Dumi, a poskusimo ugotoviti "mastodonta" v matematiki - Graemovo število. Viktor Klepcin

Referenčno številko je vedno mogoče natančno približati z racionalnimi.

In kako prijazni smo lahko, če smo si tako blizu - izenačeni s sokrivdo?

Na primer, odtrgati deseti zapis števila x za

k-ta številka Po tem odvzamemo bližino x≈a/10^k z redukcijo reda 1/10^k. In ko popravimo znak q na ulomku, ki je najbližji, lahko zagotovo odstranimo bližino z vrstnim redom 1/q. Kako lahko lepše zaslužiš?.

Kako se imenuje in čemu je enako? Poskusimo to razumeti in ugotoviti, do koliko velikih števil so prišli matematiki. yake za a = 1 nam je služil za sumi

	geometrijsko napredovanje		.			Ob predpostavki, da je Gausov izrek dokazan, se predpostavlja, da je a = a 1 enak koren (17), torej		) = a n + a

a n−1

a n−2

a 1 + a

Ob upoštevanju tega izraza s f(x) in ponovnim združevanjem členov zavračamo enakost

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + .

.

.

+ a1 (x - a1).

(21) Zdaj s formulo (20) lahko vidimo množitelj x − a 1 iz kožnega člena in ga nato pripeljemo za lok, stopnja bogatega člena, ki je izgubljena v krakih, pa postane za eno manjša.

S ponovnim združevanjem članov zanikamo istost

f(x) = (x − a1 )g(x),

kjer je g(x) bogat člen stopnje n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + .

.

§ 6.

1. .

+ b1 x + b0.

(Izračun koeficientov, označenih z b, smo tukaj, da citiramo.) Nadalje bo reduciran na polinom g(x).

Po Gausovem izreku je koren a2 enak g(x) = 0, torej

g(x) = (x − a2 )h(x),

kjer je h(x) nov polinom stopnje že n − 2. Če ta postopek ponovimo n − 1-krat (zaradi načela matematične indukcije), končno pridemo do postavitve

Vsako realno število ni algebraično. To izhaja iz novega izreka, ki ga je postavil Cantor: absolutnost vseh števil v algebri loparjev. Bo bezlich ushikh

aktivne številke

neobdelanih, potem morate uporabiti funkcijska števila, ki niso algebrska.

Predlagamo enega od načinov za preureditev brezosebnosti algebrskih števil.

Kožni tip (1) je enak celemu številu

h = | an | + | an-1 |+.

.

.

Kot je odkril Liouville, imajo iracionalna algebrska števila to moč, da se ne morejo približati racionalnim številom z zelo visoko stopnjo natančnosti, razen če vzamejo označevalce ulomkov, ki so bližje, nadnaravno veliki.

Sprejemljivo je, da številu z zadosti enačba algebre s celimi koeficienti

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +.

.

.

+ an xn = 0 (an 6 = 0),

vendar ne zadovolji istega ljubosumja nižje ravni.

Todi Zdi se, da je sam x število ravni algebre n.

Tako npr.

število z = 2 je algebrsko število nivoja 2, ki zadošča nivoju x2 − 2 = 0√ nivoju 2, ne zadošča pa nivoju prvega nivoja;

število z = 3 2 - stopnja 3, ker je izpolnjen nivo x3 - 2 = 0, ne pa (kot bomo pokazali v razdelku III) ni izpolnjen nivo nižjega nivoja.

Stopnja algebrskega števila n > 1

ne more biti racionalen, saj je racionalno število z = p q zadovoljivo

izpolnjuje raven qx − p = 0 stopnja 1. Vsako iracionalno število z je lahko s poljubno natančnostjo blizu drugega racionalnega števila;

To pomeni, da lahko zdaj vnesete zaporedje

racionalna števila			str 1, str 2,.

.

.

q 1 q 2

ni obdan z rastočimi transparenti, tako da Volodja tako kaj, kaj p r → z. qr Liouvillov izrek je potrjen: če ne bi obstajalo število algeber z ravni n > 1, se ne bi bilo mogoče približati z dodatno racionalizacijo

doseganje velikih transparentov se obvezno konča z živčnostjo

z − p q

> q n1 +1.

MATEMATIČNO NUMERIČNI SISTEM		Ta izrek bomo dokazali, vendar bomo najprej pokazali, kako lahko zanj uporabimo transcendentna števila.			Poglejmo številko

Zvezde sledijo (n + 1) m!

> (m + 1)!

− 1 za dokončanje velikega m.

Ale tse je nepravilen za vrednosti m, večje od nizh n (naj bralec vztraja pri podrobnem dokazu te trditve).

Šli smo skozi super dobe.

No, število z je bolj transcendentalno.

	Nemogoče je dokazati Liouvillov izrek.	Sprejemljivo je, da je z algebrsko število ravni n > 1, ki zadošča enačbi (1), torej
	f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + .
		.

.

.

	Nemogoče je dokazati Liouvillov izrek.		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + .

+ an (zm n - zn).

Ločene dele razdelite na zm − z in jih izračunajte z algebraično formulo

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . ..

+ uvn−2 + vn−1 , u − v	Odnesemo:			Odnesemo:

f(zm)							A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2) +.
							.
.			zm − z

An (zm n−1 + . . + zn−1 ). (6) Ker je zm enako z, se bo racionalno število zm, ko so m veliki, spreminjalo od z do manj kot ena. Zato lahko za uspeh velikega m dobite naslednjo grobo oceno: N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

+ uvn−2 + vn−1 , u − v
					Poleg tega je vrednost desnega števila M konstantna, fragmenti z se med postopkom dokazovanja ne spremenijo.

Vibermo zdaj m miza super, tako

y ulomek z m = p m pasica q m

biti večji, nižji M;

potem

qm

|z − zm |

probleme, ki jih je mogoče enostavno formulirati, dejanja, ki so povsem elementarna in priljubljena, ki niso bila nikoli rešena, vendar jih nikoli ni rešila matematika tiste dobe.

Ti "Hilbertovi problemi" so dali močan spodbuden priliv rasti v razvoju matematike v sedanjem obdobju.

Vse so bile postopoma dovoljene in v mnogih primerih je bil njihov vzpon povezan z jasno vidnimi uspehi v razvoju bolj obskurnih in globljih metod.

Ena od težav, ki se je zdela brezizhodna, se je končala v

dokaz, da število

є transcendentalno (ali celo iracionalno).

|z − zm |

Tri desetletja ni bilo nobenega pritiska na tak pristop k prehrani z nobene strani, ki bi spodbujal upanje na uspeh.

Zreshtoya, Siegel in seveda mladi ruski matematik A. Gelfond so izumili nove metode za dokazovanje transcendentnosti bogastvaštevilke, ki imajo pomen v matematiki.

|z − zm |

Zokrema, nameščeno je transcendenco kot Hilbertovo število 2 2 in na splošno spada v velik razred števil oblike ab, kjer je a algebraično število, večinoma iz 0 in 1, b pa iracionalno algebraično število. DOPOLNILO PRED ROZDILU II

V prihodnosti bom definiral stalno mnogoterost predmetov, naravo takšnih stvari in jih lahko imenujemo univerzalna množica (ali vesolje živega srebra) in

A, B, C, .

.

.

bodo vse podmnožice I. Ker je I celota vseh naravnih števil, potem A, recimo, lahko pomeni odsotnost vseh parnih števil, B - odsotnost vseh neparnih števil, C - odsotnost vseh praštevil, itd. Ker I pomeni nakup vseh točk na ravni površini, potem je A lahko prazna točka na sredini enega vložka, B - prazna točka v sredini drugega vložka itd. Pred "razdelitvijo" smo lahko ročno vklopi sam I, pa tudi »prazno« točko, da ne premakne nobenega elementa iv.

Meta, ki sledi takšnemu delu razširitve, leži v ohranjanju situacije, da moč kože A predlaga številne elemente iz I, tako da je moč nadzorovana.

Ker je A univerzalno definiran z močjo, katere rit lahko služi (kot govorimo o številkah), je moč zadovoljna z nepomembnim ljubosumjem x = x, potem bo podmnožica I sam I, element kože pa je tako močan, da ;

|z − zm |

Po drugi strani pa, ker je A notranja super-močna moč (na podlagi x 6 = x), potem podmnožica ne vsebuje vseh elementov, je "prazna" in je označena s simbolom.

Zdi se, da je množitelj A podumnožnik množitelja B, skratka »A vstopi pred B« ali »B maščuje A«, saj množitelj A nima takega elementa, kot ga nima množitelj B.

2) A B ali B A.

3) Na primer, podrazdelek A vseh celih števil, ki je deljivo z 10, je podrazdelek B vseh celih števil, ki je deljivo s 5, zato je vsako število, ki je deljivo z 10, deljivo tudi s 5. Razmerje A B ne vklopite odnos z B A. lahko na istem mestu in na drugem, potem

To pomeni, da je element A enak elementu B in nazaj, tako da sta mnogokratnika A in B popolnoma enaka elementa.

in B je množica, ki se sešteje iz števil 2, 3, 4,

potem ni prostora za razmerje med A B in razmerje med B A. To so razlogi, da trdimo, da so podmnožniki A, B, C, .

.

.

množitelji I so »delno urejeni«, tako kot aktivna števila a, b, c, .

. .

ustvarite »popolnoma urejeno« zbirko.

. Dragi, med drugim iz pomembne korelacije A B sledi, da če ne bi bilo delitve A množitelja I, Moč 4) je morda nekoliko paradoksalna, vendar, če dobro pomislite, logično sovpada z natančno zamenjavo označenega znaka.

V resnici bi bilo razmerje samo uničeno V na ta način, kot da bi se zgodila prazna množica elementa, ki se ne bi zgodil A;

	Če je prazen brez osebe in ne vsebuje vseh elementov, potem ne moremo narediti ničesar, razen če je bil A.
	Za nas sta zdaj pomembni dve operaciji množenja, ki formalno vključujeta veliko algebraičnih potenc pri seštevanju in množenju števil, čeprav se za svojo notranjo zamenjavo popolnoma razlikujeta od teh aritmetičnih operacij.		Naj sta A in B dva faktorja.
	Pod seštevkom ali “logično vsoto” A in B razumemo celoto, ki jo sestavljajo ti elementi, ki so vsebovani v A oz.

B (vključno s tistimi elementi, ki se nahajajo v A in B). Ta množitev je označena z A + B. 1 Pod "prečko" ali "logično kreacijo", A in B razumemo pomen, ki je sestavljen iz teh elementov, ki se nahajajo v A in B. Ta množitelj je označen z AB.2

|z − zm |

Bralec nedvomno zelo spoštuje tiste, da so zakoni 6), 7), 8), 9) in 12) enaki dobro znanim komutativnim, asociativnim in distribucijskim zakonom praalgebre.

Izkazalo se je, da so to pravila praalgebre, ki so isti zakoni, ki veljajo za algebro množin.

Vendar pa zakoni 10), 11) in 13) nimajo analogij v primarni algebri in dajejo algebri množin enostavnejšo strukturo.

Na primer, binomska formula v algebri mnogoterosti je reducirana na najpreprostejšo enakost (A + B) n = (A + B) · (A + B).:

	.		.
	(A + B) = A + B,		To izhaja iz zakona 11).

Zakoni 14), 15) in 17) kažejo, da so potence množic in I identične operacijam združevanja in prenosa množin ter podobne potencam števil 0 in 1 operacijam numeričnih operacij seštevanja in množenja.

24) Zakon 16) nima analogov v numerični algebri. Datum še ene operacije v algebri mnogoterosti je izgubljen.

Naj bo A podrazdelitev univerzalne množice I. Dodatek A k I pomeni, da ni elementov I, ki se ne prilegajo v A. Za to množico uvedemo vrednost A0.

Torej, ker je I neosebno vseh naravnih števil, A je neosebno vseh praštevil, potem je A0 neosebno, ki je vsota vseh skladiščnih števil in števila 1. Operacija prehoda iz A v A0, za katerega ni analoga v primarni algebri i, lahko

napredne oblasti

A+A0=I.

AA0 = .

0 = jaz.

I0 = .

2. Stagnacija matematične logike.

Preverjanje zakonov algebre množin je temeljilo na analizi logičnega razmerja med A B in operacijo A + B, AB in A0.
Zdaj lahko raziščemo ta proces in pogledamo zakone 1)–26) kot osnovo za »algebro logike«.			Recimo natančneje: tisti del logike, ki je sestavljen iz mnogoterosti ali v bistvu istih moči predmetov, ki jih obravnavamo, je mogoče reducirati na formalni algebraični sistem, ki temelji na zakonih 1)–26).
Logični »mentalni ves svet« pomeni neosebni Jaz;			kožna moč A pomeni brezosebnost A, ki nastane iz teh predmetov v I, ki to moč nosijo.
Zelo cenimo pravila za prevajanje osnovne logične terminologije v večjezični jezik
zadnjice:
"Niti A niti B"
(A + B)0 ali enako A0 B0
"Ni res, da A in B"			(AB)0 ali A0 + B0
є B", oz			"Če A, potem B",
"Z A vips B"

"Jaki A je B"

"Zhodne A ni B"

AB =

"A ni A in B"

AB0 6= "Ni A"

V smislu algebre mnogoterosti silogizem »Barbara«, ki pomeni, da »vsak A = B in vsak B = C, potem vsak A = C«, spominja na preprost pogled:

|z − zm |

3) Če sta AB in BC, potem AC.

Podobno je »zakon strokovnosti«, ki pravi, da »predmetu ni mogoče vladati naenkrat in da mu ne vlada nobena avtoriteta«, zapisano v pogledu:

20) AA 0 = ,

A

»zakon izključenega tretjega«, kar pomeni, da je »objekt kriv ali od matere ali ne od akterja moči«, je zapisano:

19) A+A0=I.

	Tako lahko tisti del logike, ki je izražen s simboli +, · in 0, obravnavamo kot formalni sistem algebre, urejen z zakoni 1)–26).
	Na osnovi logične analize matematike in matematične analize logike je nastala nova disciplina - matematična logika, ki je trenutno v procesu hitrega razvoja.

Z aksiomatskega vidika je zaradi čudežnega dejstva mogoče trditve 1)–26) skupaj z vsemi drugimi izreki mnogoterske algebre logično izpeljati iz naslednjih treh načel:

pomembno, najmanjši večkratnik a in b, ab je največji večkratnik a in b, a b je trditev "b je deljeno z a" in a0 je število 30 a.

Su-

Osnova takih aplikacij je povzročila razvoj skritih algebrskih sistemov, ki zadoščajo zakonom 27). Takšni sistemi se imenujejo "Boolove algebre" - v čast Georgea Boola (1815-1864), angleškega matematika in logika, čigar knjiga "Raziskava zakonov mišljenja" se je pojavila leta 1854. 3. Eden od razlogov je teorija enakovrednosti.

Algebra mnogoterosti je najbližje teoriji gotovosti in nam omogoča, da nanjo pogledamo v novi luči.

|z − zm |

Pa si poglejmo

najbolj preprosta zadnjica
: očitno obstaja poskus s končnim številom možnih zaporedij, za katere velja, da so vsi "enako zmogljivi." Poskus lahko na primer temelji na dejstvu, da nas izvleče karta iz novega kompleta, ki ima dobro premešan.

Ker je ne glede na vse rezultate poskusa pomemben skozi I in A označuje podrazdelitev I, potem je gotovo, da bo videti, da rezultat poskusa leži pred podrazdelkom A, označenim kot podrazdelitev

p(A) = število elementov A. število elementov I

Ker lahko razumno število elementov poljubne množice A označimo z n(A), lahko preostalo enakost izrazimo kot sledi:

V našem primeru ob predpostavki, da je A podmnožica klubov, zapojemo-

imamo n(A) = 13, n(I) = 52 in p(A) =

Ideje algebre mnogoterosti se razkrijejo pri izračunu homogenosti, ko je mogoče, če poznamo homogenosti nekaterih množiteljev, izračunati homogenosti drugih.

Če na primer poznate veljavnost p(A), p(B) in p(AB), lahko izračunate veljavnost p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) – p(AB). Ni pomembno, da ga prinesete domov. Mi maemo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

fragmenti elementov, ki se nahajajo hkrati v A in B, nato elementi AB, se upoštevajo pri izračunu vsote n(A) + n(B), zato je treba od vsote odšteti n(AB). vrednost, tako da n(A + B) buv zroblenie pravilno.

Nato žaljivi del ljubosumja delimo z n(I) in odstranimo razmerje (2).

Poglejmo na napad v napadu kot na udarec.

Tri številke 1, 2, 3 so zapisane v poljubnem vrstnem redu.

Kakšna je gotovost izbire ene od številk, ki se pojavi na naslednjem mestu (v smislu oštevilčenja)? Naj bo A število permutacij, za katere je številka 1 vredna prvega mesta, B je število permutacij, za katere je številka 2 vredna drugega mesta, C je število permutacij, za katere je številka 3 vredna tretjega mesta. Izračunati moramo p(A+B+C).

To sem spoznal

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

Učinkovito je, če je katera koli številka na pravem mestu, potem obstajata dve možnosti za preureditev števila dveh številk iz
	zhalnye kílkosti
			3 · 2 · 1 = 6 možnih permutacij treh števk.
Dali,				prav.

Izpeljite naslednjo formulo za p(A + B + C + D) in jo sestavite pred poskusom, ki vključuje sodelovanje 4 števk.

Zanesljiva zanesljivost je 58 = 0,6250.

Formula za združevanje n množin je videti takole:

p(A1 + A2 + . . + An ) =

p(Ai) −

p(Ai Aj) + p(Ai Aj Ak) − .

.

.

± p(A1 A2 ... An), (4)

de symboli

pomeni pozornost za vse možne

kombinacije za kombiniranje enega, dva, tri, . ..

, (n − 1) črka iz števila A1 , A2 , .. . An. To formulo je mogoče določiti z matematično indukcijo - tako kot je formula (3) izpeljana iz formule (2)., Iz formule (4) lahko ustvarite simbole z uporabo n števil 1, 2, 3, ., ..., ., . n zapisano v poljubnem vrstnem redu, potem je gotovo, da je ena od številk postavljena na pravo mesto, starodavno pn = 1 − Še več, pred preostalim članom je znak + ali −, kar pomeni tiste, ki so bodisi v sorodstvu bodisi v paru., Zocrema, za n = 5, je njegova priljubljenost enaka).

p5 = 1 − 2! .

+ 3! − 4!+ 5! = 30 = 0,6333.і .. .

V razdelku VIII cenimo, da če n pragne nedoslednosti, viraz 1 1 1 1 Sn = 2!− 3!

Dolgo časa je bila hrana, ki je neverjetno pomembna za matematiko, prikrajšana: Kaj so nealgebrska operativna števila? ? Od leta 1844 je Liuville prvi uvedel uporabo transcendentnega (to je nealgebraičnega) števila.

V ponedeljek je dokaz njegove transcendence še bolj zapleten.

Izrek o temelju transcendentnih števil je mogoče dokazati na veliko preprostejši način z uporabo naslednjih razlag o enakovrednosti in neekvivalentnosti številskih množiteljev.

In dokažimo, da je neosebnost algebrskih števil logična. Nato so fragmenti mnogih aktivnih števil neobdelani in lahko postavimo osnovo nealgebraičnih števil. Pojasnimo si dopisovanje med in ta podmnožica . Kaj je to pomembno?

- Jasno je in rakhunkovo. Ale oskolki, To

nepopisno, no, rakhunkovo.

Razmislimo o številki algebre. Ale oskolki Oglejmo si vse obogatene člene s celotnimi koeficienti, katerih koren je , in izberimo njihov srednji člen To formulo je mogoče določiti z matematično indukcijo - tako kot je formula (3) izpeljana iz formule (2). p -1 .

minimalna raven (tako da ne bo koren tekoče bogatega člena z vsemi koeficienti manjše ravni).

Na primer, za racionalno število ima tak polinom stopnjo 1, števila pa stopnjo 2.

Razdelimo vse koeficiente bogatega člana

na njihovem največjem spalnem območju. Odstranimo polinom, katerega koeficienti so med seboj enostavni (njegov največji sestavljeni člen je enak 1).

Zreshta, kot višji koef

Z drugimi besedami, pomnožimo vse koeficiente polinoma z Izločitev bogatega člena (bogatega člena s celimi koeficienti, katerega koren je število, ki je najmanjši možni korak, medsebojno preprostih koeficientov in pozitivnega starejšega koeficienta) imenujemo minimalni bogati člen števila.: Lahko se pokaže, da je tak polinom enolično definiran: vsako število v algebri ima točno en minimalni polinom.,Število aktivnih korenin polinoma ni večje od najnižje ravni., No, lahko preštejete (na primer po rasti) vse korenine tako bogatega člana., Zdaj je poljubno število algebre določeno z minimalnim bogatim členom (to je z nizom njegovih koeficientov) in številom, ki je razdeljeno na druge korenine tega polinoma:(a 0,a 1,...,a n-1,a n,k). Poleg tega je vsakemu algebraičnemu številu dodeljena končna množica celih števil in glede na to, kateri niz se enolično posodablja (različni nizi so dodeljeni različnim številkam). Vsa praštevila so oštevilčena v naraščajočem vrstnem redu (ni pomembno pokazati, da jih je veliko).

(Ta številka je bolj pozitivna in racionalna, vendar ni vedno naravna, tudi sredina števil ., ., ..., Iz formule (4) lahko ustvarite simbole z uporabo n števil 1, 2, 3, ., morda negativno).

Upoštevajte, da je to število kratkoročni ulomek, fragmenti so preprosti množitelji, ki vstopajo pred razgradnjo števila in znaka, razlike.

Upoštevajte tudi, da sta dva kratka ulomka s pozitivnimi števili in označevalci enaka in le, če sta njuna števila enaka in njuni označevalec enak.

Zdaj pa poglejmo sliko: (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k) = Nekatere algebre so različnim nizom celih števil in različnim nizom dodelile različna števila Nato so fragmenti mnogih aktivnih števil neobdelani in lahko postavimo osnovo nealgebraičnih števil. --- masaker

racionalnih števil, potem smo na ta način vzpostavili korespondenco ena proti ena med množico

.

Zato je anonimnost algebrskih števil zdravilna.

Fragmenti nealgebrskih števil niso zaceljeni, prinesli smo temelje nealgebrskih števil.

Vendar temeljni izrek ne nakazuje, kako izračunati, da je dano število algebraično.

In ta koncept je še kako pomemben za matematiko. 4.2. Algebrska in transcendentna števila Realna števila delimo tudi na algebrska in transcendentna.

5. Števila imenujemo algebraična, kot so koreni bogatih členov algebre s celimi koeficienti, na primer 4, .

5.1. Reshta (nealgebrska) števila se dvignejo v transcendentna.

Ker je racionalno število p/q koren podobnega polinoma prve stopnje z integralnimi koeficienti qx -p, so vsa transcendentna števila iracionalna.

Očitno

značilne lastnosti

gledam (naravna, racionalna, akcijska) števila:

Pokažimo lokacijo števil na koordinatni osi. Vendar je bilo prej ugotovljeno, da če vzamete dejansko število b na pozitivnem delu koordinatne osi in ga pomnožite s, je število b očitno odstranjeno, vendar je neznano.Če želite število znova pomnožiti, potem odstranite -b, tako da bo številka storža, tudi na negativnem delu koordinatne osi.

Zdaj smo z dvema večkratnikoma prenesli število b iz pozitivnega v negativno in sredi metanja se je število razjasnilo.

Tako smo našli mesto za eksplicitna števila v točkah na eksplicitni koordinatni osi, pravokotni na sredino aktivne koordinatne osi.

Točke ravnine med realno in aktivno osjo predstavljajo števila, ki jih je našel Cardano, kot v

glamurozen videz

a + b·i postavljajo aktivna števila in b·i so prisotni v enem kompleksu (skladišču), zato jih imenujemo kompleksna števila. To je četrti dan izračuna številk. Postopoma se je razvijala tehnika operacij z eksplicitnimi števili. Na prelomu iz 17. v 17. stoletje je nastala temeljna teorija korenov n-te stopnje, ki izhajajo iz negativnih in nato iz poljubnih kompleksnih števil, ki temelji na napredni formuli angleškega matematika A. Moivreja: Z uporabo te dodatne formule je bilo mogoče izpeljati tudi formule za kosinuse in sinuse več lokov.

Leonard Euler je leta 1748 zapisal čudežno formulo: jaka povezana skupaj prikaz funkcije

s trigonometrijo.

Z Eulerjevo formulo je mogoče pomnožiti število e

kompleksna faza

.

Medsebojno praštevila so naravna števila ali cela števila, ki nimajo največjega števila enot, večjih od 1, ali se sicer zdi, da imajo največje število enot, večje od 1. Tako sta 2 in 3 - v zelo preprostem, 2 in 4 niso (deljeno z 2)...

Grafi in njihove funkcije

Poglejmo si osnove algebraične dejavnosti nad funkcijami in njihovimi grafi, kot so seštevanje in videz (y = f(x) ±g(x)), množenje (y = f(x) g(x)), deljenje (y = f(x) / g ( x)).

Če naletite na to vrsto urnika, sledite navodilom...

Kompleksna števila: zadnji trenutek in danes

Matematika v srednjem veku

Nujna miselna spojina metode Fan-Chen s sistemi Rivne je bila uvedba negativnih števil.

Na primer, če je sistem posodobljen, lahko tabelo izbrišete.

Nujna miselna spojina metode Fan-Chen s sistemi Rivne je bila uvedba negativnih števil.

Naprej: prepoznavanje elementov tretje stopnje desnega gibanja od elementov prvega...

Numerologija Pitagora števil ni obravnaval le kot abstraktne nadomestke za prave govore, temveč kot živa bitja, ki predstavljajo moč prostora, energije ali zvočne vibracije.

Glavna znanost o številih, aritmetika ...

Legenda pravi, da je harmonična števila, ki so povezana z glasbo krogel, odkril Pitagora.

Flammarion to povzame takole: »Pravijo, da so tisti, ki so šli skozi eno od kovačnic, začutili zvok kladiv ...

Bolj praktično

kvadraturne formule iz metode Chebishev-Ermita

Naj bo ista funkcija nastavljena vzdolž celotne osi.

(1.1) Diferenciacijska funkcija je zaporedna, vemo (1.2) Z indukcijo je enostavno pokazati, da je funkcija (1.1) podobna vrstnemu redu n funkcije (1.1) in je dodatek te funkcije polinom stopnje n...

Uvedeno je bilo novo neveljavno število, katerega kvadrat je enak -1.

(1.1) Diferenciacijska funkcija je zaporedna, vemo (1.2) Z indukcijo je enostavno pokazati, da je funkcija (1.1) podobna vrstnemu redu n funkcije (1.1) in je dodatek te funkcije polinom stopnje n...

Že pred davnimi časi so ljudje, ko so si pomagali s kamni, bili pozorni na pravilne figure, ki jih je mogoče sestaviti iz kamnov.

Kamne lahko preprosto postavite v vrsto: enega, dva, tri. Če jih položite v dve vrsti, tako da pridejo ven pokončni kotleti.

Včasih smo obdani z nizom prijaznih številk in upoštevamo vsako podrobnost številk: vsaka podrobnost številke je prijazna ena do druge. Nikomakh Gerasky, slavni filozof in matematik, je zapisal: »Številke so lepe v vseh pogledih ... Fraktalna moč

družbenih procesov

Geometrijski fraktal s statičnimi figurami.

Ta pristop je povsem sprejemljiv, vendar ga ni treba upoštevati naravni pojavi V tem odstavku si bomo spet ogledali lepo in tiho kraljestvo celih števil, v katerem so se sprehodili (ne da bi rekli, se zadržali) s pomočjo teorije rangov. Takoj, ko gremo skozi zgodovino krivde in razvoj znanja človeštva o številih, se bo pokazalo paradoksalno dejstvo – skozi vso svojo bogato zgodovino je človeštvo v praksi zmagovalo in spoštljivo prispevalo, vključno z majhnim delom Obstaja veliko načinov. živeti v naravi števil. Dolgo časa se ljudje sploh niso zavedali odkritja, kot se je vedno dogajalo, najpomembnejših aktivnih števil, obdarjenih s čudovitimi in skrivnostnimi močmi, ki jih danes imenujemo transcendentalne.

Presodite sami (popolne orientacijske faze v razvoju koncepta aktivnega števila):

1) Briljantna matematična abstrakcija naravnega števila, ki presega globino tisoč. Genialnost te abstrakcije je osupljiva in njen pomen za razvoj človeštva morda presega vrtenje koles. Plošče miz so ji zvonile, dokler niso same prenehale pljuskati vidnih dosežkov Racionalna števila so bila simbol harmonije v nadnaravnem svetu in manifestacija božanskega storža, od začetka do ure petja so jih smrtniki spoštovali.

Nastavitev njihovih dovžinov ni dovolj, da bi se izrazila z optimalnim številom, drugače - cev (in Bog ne bo dovolil, da se to zgodi).

3) Negativna števila in nič (z uporabo nekaterih znanstvenih trikov)

Negativna števila so bila sprva razlagana kot borg v finančnih in menjalnih poslih, potem pa je postalo jasno, da brez negativnih števil v drugih sferah človekovega delovanja ne prideš nikamor (če ne verjameš, se kar čudi porastu termometer za stoletje nom).

Število nič po mojem mnenju sprva ni služilo kot simbol praznega prostora in odsotnosti vsakršne količine, temveč kot simbol enakosti in dokončanja procesa degeneracije (kolikor je bila za to kriva, da jo je dodal , os je zdaj nič, potem je slabo). 4) Iracionalna algebrska števila Iracionalna števila so odkrili v Pitagorejski šoli, ko so skušali poravnati diagonalo kvadrata z njegovo stranico, vendar so jih rešili pred skrivanjem na strašnem skrivnem mestu - kot da ni bilo težav!

Zgodovina razvoja koncepta števila torej ni našla mesta za transcendentalna števila.

števila niso enaka korenom nobene ravni algebre z racionalnimi ali enakovrednimi (po redukciji na končni predznak), celimi koeficienti.

Res je, da so že stari Grki čudežno število p poznali, kot je bilo vedno transcendentalno, a vedeli niso nič drugega kot to, da se rodi s svojim premerom.

Resnica o resnični naravi tega števila se je le malokdo izgubil, dokler niso ljudje utrujeno in neuspešno poslušali starogrške legende o kvadraturi vložka, število p pa je bilo videti skrivnostno prisotno v različnih vejah matematike in narave. znanost. Šele leta 1844 je Liuvilleovo rojstvo odkrilo zgodovinsko prvo uporabo transcendentnega števila in matematični svet je bil presenečen nad samim dejstvom nastanka takih števil.Šele v 19. stoletju je briljantni Georg Cantor spoznal, vikoristično razumevanje pomena mnogoterosti, da je na številski premici transcendentalnih števil pomembno večje. Šele v petem odstavku te majhne knjige bomo našli naše spoštovanje brutalno na transcendentalnem številu. Klavzula 24. Svet in kategorija na ravni črti.

Na tej točki bom podal nekaj predhodnih informacij iz matematične analize, ki so potrebne za razumevanje naslednjega zaključka. Matematiki so prišli do številnih različnih formalizacij koncepta "majhnosti" množice. To formulo je mogoče določiti z matematično indukcijo - tako kot je formula (3) izpeljana iz formule (2). Potrebujemo dva od njih - neosebni svet nič in neosebno prvo kategorijo po Beeru. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Očitno je množica racionalnih števil Rakhunkov (| Q|= A 0), in bilo bi torej neverjetno neosebno maščevati se na zdravilni strani. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Zdravilne neosebnosti so najmanjše od neizmerljivih. Med rakunkovom in brezosebnostjo naravnih števil № To formulo je mogoče določiti z matematično indukcijo - tako kot je formula (3) izpeljana iz formule (2). n Temelji na biološki refleksiji, torej.|= A 0), in bilo bi torej neverjetno neosebno maščevati se na zdravilni strani. Šele v petem odstavku te majhne knjige bomo našli naše spoštovanje brutalno na transcendentalnem številu. .

Elemente poljubne zdravilne množice je mogoče preštevilčiti ali, z drugimi besedami, katero koli zdravilno množico je mogoče izbrati v zaporedju. Redni interval ne povzroči neposrednega zdravljenja. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. To očitno izhaja iz naslednjega izreka. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Izrek 1 (Cantor). Za katero koli zaporedje () realna števila in za poljuben interval Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. jaz Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Glavna točka Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. r Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. O tem Za katero koli zaporedje ( pa kaj Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. str za kogarkoli n Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Končano. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Temelji na biološki refleksiji, torej. Proces. Za katero koli zaporedje ( Vzamemo del (sam del, hkrati s koncev) Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 1 M Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. pa kaj Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. a Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 1 str
ki, kot vemo iz prvega tečaja, ni prazen, torej.
maščevati se na deyak točki . Očitno p# a n Šele v petem odstavku te majhne knjige bomo našli naše spoštovanje brutalno na transcendentalnem številu. .

pred vsemi

n O tem Ne verjamem, da se bralci prej niso strinjali s tem prefinjenim dokazom (čeprav so se v moji praksi z njim seznanili tudi najtemnejši učenci), le da bo ideja tega dokaza uporabljena v dokazu Beerjevega izreka in ga je kasneje težko ugotoviti leg_d. Viznachennya. Bezlich Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. A Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. velikih intervalih Viznachennya., saj ni zaman premikanje kože med . velikih intervalih Viznachennya. Bezlich Viznachennya. .

Super je, tako kot je super v Viznachennya. R Sploh ni super, tako kot potem ni super v istem intervalu na aktivni direktni liniji. kožni presledek na direktnem mestu pod presledkom, tako da le-ta popolnoma leži na prirastku, dokler Viznachennya. Lahko je razumeti, kaj je neosebno
Nič več kot to, še bolj pa, če kaj dodatnega

A y

močneje se maščuj, neosebno odpri vrata. Lahko je razumeti, kaj je neosebno

Ne glede na vse in ne glede na vse, če obstaja ključavnica

Nobene notranje točke ni.

Elemente poljubne zdravilne množice je mogoče preštevilčiti ali, z drugimi besedami, katero koli zdravilno množico je mogoče izbrati v zaporedju. Ni veliko množiteljev na ravni črti, ki se intuitivno zdijo majhni v smislu, da je v njih vedno veliko točk, točke takih množiteljev, razširjenih na ravni črti, pa so redko dosežene.

Dejanja moči, ne veliko skupin, je mogoče množično formulirati v obliki izreka. Izrek 2. 1) Bodite podmnožica množice nikjer. Izrek 2. 2) Združevanje dveh (ali katere koli končne številke) brez več množin. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 3) Zaprtje velike množice ni pomembno. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 1) Očitno. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. \ Izrek 2. 2) Jakšče Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. A Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 1 \ Izrek 2. 1 i Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. r Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. \(Izrek 2. 2 niso preširoki, nato pa za interval kože Izrek 2. bodo intervali Izrek 2. 2 niso preširoki, nato pa za interval kože Izrek 2. 1 M (

1) to Sploh ni super, tako kot potem ni super v istem intervalu na aktivni direktni liniji. 2 M (
.

2). . .

n O tem pomeni,

1 jaz 2), in to pomeni

2 Nikjer ni tako slabo. . 3) Očitno ne glede na odprti interval, v katerega se prilega

, nahajajo se tudi v

Elemente poljubne zdravilne množice je mogoče preštevilčiti ali, z drugimi besedami, katero koli zdravilno množico je mogoče izbrati v zaporedju. Trije, formulirani v izreku moči, so v bistvu enakovredni.

Najprej ga dobimo. Viznachennya. gremo Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti.- Predmet neosebnosti Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 1) Očitno. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. \ Izrek 2. prva kategorija v obliki zdravilne diete nima večjih množin, Izrek 2.- Dodatni interval. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Dali – postopek dokazovanja Cantorjevega izreka. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. A Izberite razdelek (sam razdelek, hkrati na koncu) \ Izrek 2. 1). Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Možno je zaslužiti, saj poleg tega nikjer ni veliko denarja Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. 2 \ Izrek 2. 1 na sredini intervala
Včasih bo cel interval, vi pa boste po lastni presoji imeli cel odsek. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. \ Izrek 2. Vibermo vidrezok Sploh ni super, tako kot potem ni super v istem intervalu na aktivni direktni liniji. jaz 1

2).

n O tem Vibermo vidrezok

3 M (

n O tem Ne verjamem, da se bralci prej niso strinjali s tem prefinjenim dokazom (čeprav so se v moji praksi z njim seznanili tudi najtemnejši učenci), le da bo ideja tega dokaza uporabljena v dokazu Beerjevega izreka in ga je kasneje težko ugotoviti leg_d. Viznachennya. 3) itd. . Retin vložkov Viznachennya. ne prazen, oh, več ni prazna, ampak pomeni, da je polna odlično. Druga trditev izreka neposredno sledi iz prve, tretja trditev prav tako sledi iz prve, da bi delali na sebi in prešli na dodatno zaporedje velikih zaprtih mnogoterosti. Razred mnogoterosti, ki vsebuje vse končne in zdravilne povezave svojih članov in vse podmnožice njegovih članov, se imenuje s – ideal.
Očitno je, da razred vseh ni več kot mnogoterost zdravljenja in s-ideal.< e .

Po kratkem premisleku je lahko razumeti, da razred vseh števil prve kategorije neposredno ustreza s-idealu.

Druga uporabna stran s-ideala daje razred tako imenovanih ničelnih pomnožkov (ali mnogokratnikov nič). M

Elemente poljubne zdravilne množice je mogoče preštevilčiti ali, z drugimi besedami, katero koli zdravilno množico je mogoče izbrati v zaporedju. se imenuje neosebna ničla (nič-kratnik), ker je mogoče pokriti z največ zdravilno celoto intervalov, katerih skupna količina je manjša od vnaprej dano številko e> 0, torej. za vsako e > 0 obstaja takšno zaporedje intervalov e> 0, torej. jaz n Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti., kaj і е Ѕ I n Ѕ Koncept nič-množnikov je še ena formalizacija intuitivnega koncepta "majhnosti" mnogoterosti: nič-množniki so vsi majhni množitelji.
і
Očitno je pika ničelna večkratnost in celo podmnožljivost ničelnega množitelja je sama ničelna večkratnost. Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Dejstvo, da ničelni pomnožniki ustvarijo s-ideal, sledi iz izreka. Viznachennya. Izrek 4 (Lebesgue).
Ali je bolj terapevtsko kombinirati ničelne pomnožbe z ničelnimi pomnožitvami. Viznachennya. gremo

A i

- množenje z ničlo, i Druga trditev izreka neposredno sledi iz prve, tretja trditev prav tako sledi iz prve, da bi delali na sebi in prešli na dodatno zaporedje velikih zaprtih mnogoterosti.= 1, 2, .... Todi za kožo Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Ključno je zaporedje intervalov

ij( Druga trditev izreka neposredno sledi iz prve, tretja trditev prav tako sledi iz prve, da bi delali na sebi in prešli na dodatno zaporedje velikih zaprtih mnogoterosti. Ѕ і Ѕ Zamera in razumevanje spiralno prehajata v razumevanje zdravilne mnogoterosti. Ѕ .

j

Iz Heine-Borelovega izreka sledi, da s-ideal ničelnih faktorjev, tako kot s-ideal ne več kot terapevtskih množkov in množkov prve kategorije, ne vsebuje intervalov in delitev. Podobni tem trem s-idealom so tudi tisti, ki vključujejo vse končne in zdravilne komponente. Poleg tega obstajajo neobdelane številke prve kategorije svetovne ničle. Najbolj znana zadnjica takšne mnogoterosti je Cantorjeva popolnoma (*) neosebna c Najbolj znana zadnjica takšne mnogoterosti je Cantorjeva popolnoma (*) neosebna M, ki je sestavljen iz številk, v trojniku nima ene. Najbolj znana zadnjica takšne mnogoterosti je Cantorjeva popolnoma (*) neosebna Ugotovite postopek, s katerim Cantorja prosite za temeljito množenje: odsek je razdeljen na tri enake dele in srednji interval je izločen.

Kožo iz izgubljenih dveh tretjin ponovno razdelimo na tri enake dele in jim odstranimo srednje odprte intervale itd.

Očitno je, da nima smisla odločati o tem procesu brez osebe.

prva kategorija.

Skupno količino vrženih srednjih delov starodavnih enot je torej enostavno obnoviti. h Viznachennya.і Svet je ničla. Vidomo Viznachennya. nezdravljena, saj Svet je ničla. brez osebnosti neskončnih zaporedij, ki so sestavljena iz ničel in dvojk (kožni element

Elemente poljubne zdravilne množice je mogoče preštevilčiti ali, z drugimi besedami, katero koli zdravilno množico je mogoče izbrati v zaporedju. se imenuje neosebna ničla (nič-kratnik), ker Za katero koli zaporedje ( 1 , Za katero koli zaporedje ( 2 ,…, Za katero koli zaporedje ( predstavljen s trojnim ulomkom, kjer sledi zaporedje ničel in dvojk). . Bralce spodbujam, da neodvisno preverijo, ali obstajajo množitve prve kategorije, ki niso ničelni množitelji, in obstajajo ničelni množitelji, ki niso množitelji prve kategorije (vendar boste tako lažje ugotovili za prepričani primeri, ne padite v obup, samo preberite ta odstavek do izreka. Tako je slika razmerja med tremi obravnavanimi s-ideali naslednja: No, poslala sta nas dva koncepta marsičesa. Nič ni paradoksalno, da se nekaj, kar je v enem smislu majhno, v drugem zdi veliko. Naslednji izrek slabo ilustrira to idejo in kaže, da se lahko v določenih situacijah uvedba koncepta majhnosti zdi diametralno nasprotna.

, і е Ѕ I n Ѕ =1,2,...;

; Izrek 2. = . \ Izrek 6. = Izrek 6. ў .

Številsko premico lahko razdelimo na dva dodatna mnogokratnika і е Ѕ I n Ѕ U< e . Тогда

,

pa kaj Svet je ničla. gremo

ê ne-osebe prve kategorije in
Svet je ničla. . n ,… – število neosebnih racionalnih števil je oštevilčeno (sicer lahko pride do drugega zdravila skozi močno podmnožico ). gremo
jaz ij

Ni tako, neverjeten rezultat! . Iz zgornjega izreka sledi, da se pojavi neposredni submultiplikator, mogoče je vizualizirati kombinirani ničelni množitelj in množitelj prve kategorije.

Na naslednji točki si bomo posebej ogledali razpad

1. na dve podrazdelitvi, od katerih je ena transcendentalno Liouvillovo število - svetovna ničla, druga pa kategorija po Beeru. 2. Pohitite do naslednje točke! 5. Zavdannya Zadnjico usmerite skozi debele dele, katerih prečke sploh niso debele. Pokažite zadnjico tukaj velike množice, poleg tega, kar je tudi tukaj veliko. 6. Zavdannya Zadnjico usmerite skozi debele dele, katerih prečke sploh niso debele. Kaj pomeni ničelni vstop, več reza? 7. Pusti, brezlicch 8. E 9. se imenuje neosebna ničla (nič-kratnik), ker Na koncu dneva je svet nič. Kaj je pomen nesmiselnega sveta nič? . Ni več časa za rezanje in svet je nič. Viznachennya. Kaj pomeni nesmiselni svet nič? Na koncu dneva je svet nič. Zakaj sta tako dve debeli, nezaceljeni množini na ravni črti, katere razpon je prazen? Druga trditev izreka neposredno sledi iz prve, tretja trditev prav tako sledi iz prve, da bi delali na sebi in prešli na dodatno zaporedje velikih zaprtih mnogoterosti. Ostanite z nami za vse podrobnosti o tem nesmiselnem svetu, ki ni nič. s Druga trditev izreka neposredno sledi iz prve, tretja trditev prav tako sledi iz prve, da bi delali na sebi in prešli na dodatno zaporedje velikih zaprtih mnogoterosti. Ѕ < e при всех Temelji na biološki refleksiji, torej.>0, A N Na koncu dneva je svet nič.. Na koncu dneva je svet nič. Zdi se, da je neosebno< Na koncu dneva je svet nič. <1 является его собственным подклассом. 10. Lahko je nič - Hausdorffov svet, saj za vsako e> 0 temelji zaporedje intervalov (torej kaj: ta S . (torej kaj: Pokažite, da je družina vseh množic enaka nič . (torej kaj:-Hausdorffov miren svet ustvarja s-ideal;

pri

=1 se izognemo z razredom ničelnih pomnožkov in za 0

Bodi dosleden fn x ) brez prekinitve Krapkovove funkcije konvergirajo k funkciji f torej kaj:) za rez. torej kaj: + 456,67 = 8974. Pokazati, da nima smisla razvijati funkcije ) v tem razdelku ni posebne prve kategorije. **) N.S. NOVA KULTURA NOV PRISTOP K ERMTAZH Umetnik Valentin Serov. Čudovita in groteskna slika. Tipke z rentgensko osvetlitvijo imajo svoje znake. Pravo dekle. Če sem iskren, zaradi blakytny. Vasilij Kandinski. "Sestava N 456642695244962". Očitno je ideja o ustvarjanju abstraktnih slik prišla umetniku na misel, ko je pogledal na portal in kako se je poigraval s čopiči. Gancherka, o tem, kako vrti noge, mu je povedala, da je na pravi poti.