Приклади залежності між змінними у реальних процесах. Функціональні залежності у повсякденному житті. Особливості програмування та даних

зворотну пропорційну залежність (рис. 2).

приклад 2.Ми живемо у вік інформаційних технологій. Щодня ми отримуємо багато інформації з різних джерел: телебачення, радіо, газет, журналів, і, звичайно, з Інтернету. Відомо, що обсяг інформації кожні п'ять років збільшується вдвічі.

називається експонентою і є

приклад 3.На голові людини росте волосся, яке регулярно стрижуть.

Графік отриманої залежності (за умови, що стрижку роблять регулярно) схожий на функцію дробової частини числа, зміщену на aодиниць нагору: (рис. 4).

Приклад 5.Зміна температурного режимуу нашій кліматичній зоні підпорядковується законам тригонометричних функцій(Рис. 6)

Приклад 7.Графіком можна проілюструвати сенс будь-якого прислів'я.

Ось, наприклад, прислів'я – «Яке життя проживеш, таку славу наживеш» на графіку виглядатиме так (рис.8):

З графіка видно, що якщо насіння мало, то й урожай буде малий, якщо насіння занадто багато, то їм рости буде погано, і насіння втратиш, і врожаю не збереш, треба посадити оптимальну кількість насіння та врожай буде високим.

Будь-яке креслення графіка функції починається з координатних осей.

До речі: Креслення бувають двовимірними та тривимірними.

Спочатку розглянемо двовимірний випадок декартової прямокутної системи координат:

1) Чортимо координатні осі. Вісь називається віссю абсцис , а вісь – віссю ординат . Рисувати їх завжди намагаємося акуратно і не криво. Стрілки теж не повинні нагадувати бороду Папи Карло.

2) Підписуємо осі літерами «ікс» та «ігрок». Не забуваємо підписувати осі.

3) Задаємо масштаб по осях: малюємо нуль і дві одиниці. При виконанні креслення найзручніший і найпоширеніший масштаб: 1 одиниця = 1 клітинка. Однак іноді буває так, що в кресленні потрібно відзначати дробові величини, тоді допускається масштаб: 1 одиниця = 2 клітинка. Рідко, але буває, що масштаб креслення доводиться зменшувати (чи збільшувати) ще більше

НЕ ТРЕБА «строчити з кулемету» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Бо координатна площина – не пам'ятник Декартові, а студент – не голуб. Ставимо нульі дві одиниці по осях.

Передбачувані розміри креслення краще оцінити ще до побудови креслення. До речі, про сантиметри і зошити. Чи правда, що у 30 зошитових клітинах міститься 15 сантиметрів? Відміряйте у зошиті для інтересу 15 сантиметрів лінійкою. У СРСР, можливо, це було правдою… Цікаво відзначити, що якщо відміряти ці сантиметри по горизонталі та вертикалі, то результати (у клітинах) будуть різними! Строго кажучи, сучасні зошити не картаті, а прямокутні. Можливо, це здасться нісенітницею, але, креслити, наприклад, коло циркулем при таких розкладах дуже незручно. Це сум нашого часу!!

Лінійна функція задається рівнянням. Графік лінійної функцій є пряму. Для того, щоб побудувати пряму, достатньо знати дві точки.

Приклад 1Побудувати графік функції. Знайдемо дві точки. Як одну з точок вигідно вибрати нуль.

Якщо то

Беремо ще якусь точку, наприклад, 1.

Якщо то

При оформленні завдань координати точок зазвичай зводяться до таблиці:

А самі значення розраховуються усно або на чернетці.

1) Лінійна функція виду () називається прямою пропорційністю. Наприклад, . Графік прямої пропорційності завжди проходить через початок координат. Таким чином, побудова прямої спрощується - достатньо знайти лише одну точку.

2) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції будується відразу, без будь-яких точок. Тобто запис слід розуміти так: «гравець завжди дорівнює -4, при будь-якому значенні ікс».

3) Рівняння виду задає пряму, паралельну осі, зокрема, сама вісь задається рівнянням. Графік функції також будується одразу. Запис слід розуміти так: «ікс завжди, за будь-якого значення ігор, дорівнює 1».

Дехто запитає, ну навіщо згадувати 6 клас?! Так-то воно, може і так, тільки за роки практики я зустріла добрий десяток студентів, яких ставила в глухий кут завдання побудови графіка на кшталт або .

Побудова прямий – найпоширеніша дія у виконанні креслень.

Розглянемо знаменитий випадок:

Згадуємо деякі властивості функції.

Область визначення– будь-яке дійсне число (будь-яке значення «ікс»). Що це означає? Яку б точку на осі ми не вибрали - для кожного "ікс" існує точка параболи. Математично це записується так: . Область визначення будь-якої функції стандартно позначається через або . Літера позначає безліч дійсних чиселабо, простіше кажучи, «будь-яке ікс» (коли робота оформляється в зошиті, пишуть не фігурну букву, а жирну букву R).

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Предмет– математика

Розділ- "Проект"

Форма проведення- Творчий моно проект з відкритою координацією.

Цілі:

• Освітній аспект:сприяти узагальненню знань по розділу “Функціональні залежності”, розширити математичні уявлення учнів про функції та її застосування в інших науках та повсякденному житті; сприяти оволодінню конкретними математичними знаннями, необхідними для застосування в практичній діяльності, вивчення суміжних дисциплін, для продовження освіти.
• Розвиваючий аспект:розвивати основні способи мисленнєвої діяльності учнів (уміння аналізувати, ставити і вирішувати проблеми), формувати та розвивати пізнавальний інтерес до предмета, розвивати мову та здатність переконливо викладати думки, сприяти розвитку самостійності учнів.
• Виховний аспект:виховувати взаєморозуміння та терпимість, самостійність, уміння презентувати себе, оцінювати себе та інших, керувати колективом.
• Профорієнтаційний аспект:сприяти створенню умов формування індивідуальної траєкторії розвитку професійних інтересів учнів, вироблення професійно значимих якостей особистості (творчих, організаторських, ораторських).

Устаткування: комп'ютер, проектор, мультимедійний екран, Інтернет.

Оформлення: презентація, творчі роботи.

Мудрі думки:

• "Велич людини - в її здатності мислити".
  Б.Паскаль
• “Математика - це мова, якою говорять усі точні науки”.
  М.І.Лобачевський

Золоті слова:

• Наука і праця, чудові сходи дають.
• Більше дізнаєшся – сильніше станеш.
• Будеш книжки читати – все знатимеш.

Структура заняття

Етапи заняття	Зміст етапу	Матеріально-технічна база
1. Організаційно-підготовчий	Вітання. Перевірка явки на заняття, їх готовності. Активізація учнів. Формулювання теми, цілей заняття. Постановка перед навчальними завданнями.	Оціночні листи
2.Підготовка до активної навчально-пізнавальної діяльності	Вступне слововикладачів	Оформлення заняття: Комп'ютер Мультимедійний проектор
3. Захист проектних робіт	Подання проектів, презентація остаточних результатів. Самооцінка та взаємооцінка виступів. Оцінювання якості виконання робіт усіма учнями	Проектні роботи учнів:
4. Підбиття підсумків	Оцінювання творчих робіт	Оціночні листи

Хід уроку

Вступ.

П викладач:

Доброго ранку, дорогі друзі!

Наша зіркова година “Пізнай світ” присвячена функціям. Значення їх велике. Функції та реальний світ невіддільні. Вони описують явища у природі. Встановлюють закономірності, допомагають відкривати закони, які є людству.

До цього заняття кожен із вас виконав певну роботу, яку продовжимо зараз. Поступово відкриваючи пункти плану, які закривають такі гарні зірочки, ведучі підведуть нас до заключному етапізірковий годинник. (План заздалегідь написаний на дошці)

Викладач:

Дорогі хлопці!

Пройшов етап рутинної підготовки до цього заняття. Ви багато працювали. Завдання, які необхідно було вирішити під час виконання проектної роботи, були такі:

• встановити значимість поняття “функціональна залежність” у реальних процесах та явищах та інших науках;
• знайти інформацію з ресурсів Інтернету, які стосуються теми проекту;
• підготувати показ кінцевого продукту своєї роботи у формі презентацій;

Викладач. Основні питання, що спрямовують проект “ Чи може описати функція? Як використовувати математичні навички у своїй професійної діяльності?”

І щоб відповісти на ці питання, вам було дано завдання, систематизувати та розширити основні знання з розділу “Функція”, розглянути та відповісти на такі проблемні питання навчальної теми проекту:

• Яка роль функції у твоїй професії?
• І яка роль функції у реальному житті та у вивченні інших наук?

Під час підготовки необхідно було розглянути такі навчальні питання:

• Як виникла функція?
• Які реальні явища описує?
• Як застосовується в інших науках та у професійній діяльності?
• Роль синусоїди у реальному житті?
• Роль функції математики?

Викладач. Оцінювати ваші роботи доведеться вам самим. На кожному столі у вас знаходиться оціночний лист, ви виставляєте оцінку у свій оціночний лист, при цьому ви повинні враховувати:

• актуальність теми
• значимість розробки
• обсяг та повнота розробки
• рівень творчості
• аргументованість запропонованих рішень
• якість доповіді
• обсяг та глибина знань за темою
• відповіді на запитання.

Виступаючим може бути запитання.

Викладач: Заняття сьогодні пройде у незвичайній формі, роль викладачів візьмуть на себе ваші однокурсники: Мастренко Дмитро – група ТО-13 та Чапаєв Віталій – група ТО –11.

Настав час продемонструвати те, що у вас вийшло. Бажаю вам успіху! В добрий шлях! Ми починаємо.

Основна частина заняття.

Захист проектних робіт. презентації. Презентація 1. "Історія створення функції"

Презентація 2. "Функція в математиці"

Презентація 3. "Синусоїда в образах"

Презентація 4. “Функція у професії”

Презентація 5 "Функціональні залежності в інших науках"

Презентація 6 "Функція в економіці"

1 студент

(Прибираючи зірочку, читає написані на ній слова Галілея):

"Саме функція є тим засобом математичної мови, який дозволяє описувати процеси руху, зміни властиві природі".

Продовжує. “Функція висловлює залежність між змінними величинами. Кожна галузь знань: хімія, фізика, біологія, соціологія та інших. має свої об'єкти вивчення, встановлює властивості та взаємозв'язку між цими об'єктами у світі”.

2 студент

Вперше функція увійшла до математики під ім'ям “ змінна величина” у праці французького математика та філософа Рене Декартав 1637 р. складний, дуже тривалий шлях розвитку поняття функції. З якими великими іменами пов'язане це поняття, нам розповість студент групи ТО-13 - Бігвава Данило.

(Показ презентації).

1 студент

Концепція функції- Одне з основних в математиці.

2 студент

Під час уроків математики ви часто чуєте це слово. Ви будуєте графіки функцій, займаєтеся дослідженням функції, знаходьте найбільше чи найменше значення функції. Але для розуміння всіх цих дій давайте визначимо, яку роль грає функція в математиці.

1 студент

Зараз багато наук беруть на озброєння математичний апарат. Такі функціональні залежності, наприклад вік дерев, розвиток амеби, розвиток папороті вивчає наука біологія.

2 студент

1 студент

Поряд з іншими функціями тригонометричні функції займають важливе місце. Математичний образ синусоїди можна отримати, розглядаючи залежність сонячної енергіївід кута падіння на деяку ділянку площини.

(Прибирає другу зірочку, читає на ній): “О сонце! Без тебе не стало б у світі життя”. (Після паузи продовжує): “Хай буде світло!”.

2 студент

Функції допомагають описувати процеси механічного руху тіл, небесних та земних. За допомогою них вчені розраховують траєкторії руху космічних кораблів та вирішують безліч технічних проблем.

1 студент

(Прибирає зірочку та читає вірш Пушкіна А.С.)

О, скільки нам відкриттів дивовижних

Готує просвітництва повік!

2 студент (Звертаючись до виступаючого),

Скажіть, будь ласка, а ви зробили собі маленьке відкриття?

Виступаючий

Так, я в мене змінилося уявлення про функцію. Так, і взагалі, я зрозумів, для чого мені потрібно вивчати математику.

1 студент

Зараз багато говорять про інформаційний бум. Потік інформації захльостує: стверджують, що її кількість подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес наочно, як графіка деякої функції.

2 студент

Приймемо обсяг інформації у рік за одиницю. Оскільки ця величина послужить нам початком подальших побудов, відкладемо її над початком координат, у яких будуватиметься графік, по вертикальній осі. Відрізок, удвічі більший, відновимо над одиничною відміткою горизонтальної осі, вважаючи, що ця позначка відповідає першому десятку років.

1 студент

Ще вдвічі більший відрізок поставимо над точкою "два", що відповідає другому десятку, ще вдвічі більший - над точкою "три". Декада за декадою - обрані нами значення аргументу вишикуються по горизонтальній осі в порядку рівномірного наростання, за законом арифметичної прогресії: один, два, три, чотири... Значення функції відкладуться над ними, зростаючи щоразу вдвічі, - за законом геометричній прогресії: два, чотири, вісім, шістнадцять...

2 студент

Тепер з'єднаємо всі нанесені точки безперервною гладкою лінією – адже кількість інформації наростає від десятиліття до десятиліття плавно, а не стрибками. Перед нами графік показової функції.

1 студент

Знімає зірочку, читає:

2 студент

На сьогоднішній день.

1 студент

А до чого тут функція?

2 студент

Ми зараз дізнаємося.

1 студент

(Знімає останню зірку зі словами М.В. Ломоносова):

Відкрилася безодня, зірок сповнена;
Зірок числа немає, безодня дна.

2-й викладач:

Астрономи порівнюють величину блиску зірок за логарифмічною функцією. Сьогодні на нашому небосхилі спалахнули кілька математичних зірочок.

Нагородження.

4. Підбиття підсумків.

Викладач:

Чому навчилися у процесі виконання проектної роботи?

У процесі реалізації проекту ми набули наступних конкретних умінь:

• вільно орієнтуватися у різноманітних функціональних залежностях;
• застосовувати отримані знання практично;
• висувати гіпотези;
• швидко та точно підбирати необхідні для роботи ресурси, вести пошук в Інтернеті;
• працювати у різних пошукових системах;
• точно формулювати питання;
• представляти результати досліджень у вигляді презентацій;
• інтерпретувати результати дослідження;
• робити висновки;
• обговорювати результати дослідження, брати участь у дискусії.

Викладач: Головна мета, яку ми визначили, починаючи роботу над проектом – вважаю досягнутою. А як гадаєте, ви? У вас на столах система координат, збудуйте, будь ласка, графік функції, що оцінює всі презентації.

Транскрипт

1 Г(О)Б ПОУ «Задонський політехнічний технікум» Науково-дослідна робота Функціональна залежність реальних процесів Виконали: Чернухін Іван Олексійович, Копенкін Павло Володимирович, студенти групи Те-1 Г(О)Б ПОУ «Задонський політехнічний технікум» Керівник: Сторожук Валентина Миколаївна, викладач математики Г(О)Б ПОУ "Задонський політехнічний технікум" Адреса: Липецька область, м. Задонськ, вул. Праці, д уч.р.

2 ЗМІСТ Вступ Глава 1. Теоретичні основиВведення поняття функції З історії виникнення функції Поняття функції та графіка функції Глава 2. Практична частина Дослідження функціональної залежності у повсякденному житті Ілюстрація функціональної залежності в роботі електрика Висновок...22 Список литературы...23 Додаток 1. Види функцій та його властивості. 1

3 Введение Успіх людини у суспільстві залежить від цього, наскільки він компетентний у основах наук, зокрема математики. У математиці всі явища та залежності описуються за допомогою функцій. Функція одне з основних математичних та загальнонаукових понять, що виражає залежність між змінними величинами. Розробкою поняття функції займалися великі вчені: Франсуа Вієт, Рене Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбніц, Бернуллі, Ейлер, Даламбер, Фур'є та інші вчені. Серед російських учених можна назвати Ейлера. Чебишева, Соболєва, Лобачевського, Лебедєва та інших. Функціональна залежність зустрічається в житті «на кожному кроці», тому ця тема актуальна як для кожної людини, так і для всього міста, а загалом – для всього людства. Минають роки, і ми змінюємось. Ми також залежимо від своєї спадковості, від книг, які ми читаємо, від температури навколишнього середовища та від багатьох інших факторів. І тому тему дослідження ми сформулювали так: «Функціональна залежність реальних процесів». Ми любимо знаходити різні закономірності у навколишньому світі, любимо вивчати числа, будувати графіки. Тому ми вирішили докладніше дізнатися, як можна пов'язати різні моменти життя з функціями та графіками. Мета нашого дослідження: показати приклади нестандартного погляду на функціональну залежність у навколишньому житті. І тому поставили собі такі завдання: 1. вивчити матеріал з цієї теме; 2. ознайомитися з історією виникнення поняття функції; 3. запровадити поняття функції та графіка функції; 4. продемонструвати різні функціональні залежності навколо нас та у роботі електрика; 5. оформити презентацію. 2

4 Предмет дослідження: сукупність математичних методів та моделей. Об'єкт дослідження: функції. Методи дослідження: вивчення та використання науково-публіцистичних та навчальних видань, узагальнення, аналіз, синтез, моделювання. Гіпотеза: реальні події у житті можна у вигляді графіка залежностей. Матеріал, пов'язаний із побудовою графіків функцій, вивчається недостатньо повно з погляду вимог, пред'явлених на іспитах. Тому завдання на побудову графіків нерідко викликають утруднення учнів та студентів. Ґрунтуючись на цьому факті, ця тема є необхідною для детального розгляду. Теоретична значущість нашої дослідницької роботи полягає в тому, що результати дослідження можуть бути використані для студентів технікумів щодо теми «Функція». Практична значущість роботи у тому, що результати дослідження можна використовувати студентами технікумів підвищення освітнього рівня щодо застосування функції у практичній діяльності електрика. Ми вважаємо, що ця робота може допомогти зацікавити студентів, дати можливість «заглянути всередину» такого складного математичного поняття як «функція». 3

5 Глава I. Теоретична частина З виникнення функції. Більшість математичних понять пройшли довгий шлях розвитку. Складний шлях пройшло поняття функції. Воно сягає корінням у ту далеку епоху, коли люди вперше зрозуміли, що навколишні явища взаємопов'язані. Вони ще не вміли рахувати, але вже знали, що чим більше оленів вдасться вбити на полюванні, тим довше плем'я буде позбавлене голоду; що сильніше натягнута тятива лука, то далі полетить стріла; що довше горить багаття, то тепліше буде в печері. З розвитком скотарства, землеробства, ремесел та обміну збільшувалася кількість відомих людямзалежностей між величинами. Ідея залежності деяких величин походить від давньогрецької науки. Але греки розглядали лише питання, мають геометричну природу, і ставили питання загальному вивченні різних залежностей. Графічне зображення залежностей широко використовували Г.Галілей (), П.Ферма () та Р.Декарт (), який запровадив поняття «змінної величини». За визначенням Декарта: «Функцією змінної величини називається кількість, утворена будь-яким способом із цієї змінної величини і постійних». Розвиток механіки та техніки вимагав запровадження загального поняття функції, що було зроблено німецьким філософом та математиком Г.Лейбніцем. Наступний крок у розвитку поняття функції зробив учень Бернуллі, член Петербурзької Академії наук Леонард Ейлер (). У Диференційному обчисленні, що побачив світ 1755 р, Л. Ейлер дає загальне визначення функції: 4

6 Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони змінюються, то перші називаються функціями других. Це найменування, - продовжує далі Ейлер, - має дуже широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших. У загальному вигляді поняття узагальненої функції було запроваджено французом Лораном Шварцем. У 1834 р. у роботі Про зникнення тригонометричних рядків М. І. Лобачевський, розвиваючи вищезгадане ейлерівське визначення функції у 1755 р., писав: Загальне поняттявимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається кожному за х разом із х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, що подає засіб випробовувати всі числа та вибирати одне з них; чи, нарешті, залежність може існувати й залишатися невідомою... Широкий погляд теорії допускає існування залежності лише тому сенсі, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати хіба що даними разом. Ще до Лобачевського аналогічна думка поняття функції було висловлено чеським математиком Б. Больцано. У 1837 р. німецький математик П. Лежен-Діріхле так сформулював загальне визначення поняття функції: є функція змінної х (на відрізку a (х (b), якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже) , яким чином встановлена ​​ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею чи навіть просто словами.

7 Висновок: Слід зазначити, що з XVII в. одним із найважливіших математичних понять є поняття функції. Воно зіграло і досі відіграє велику роль у пізнанні реального світу. Простежуючи історичний шлях розвитку поняття функції мимоволі приходиш до думки, що еволюція ще далеко не закінчена і, мабуть, ніколи не закінчиться, як ніколи не закінчиться і еволюція математики в цілому. Нові відкриття та запити природознавства та інших наук призведуть до нових розширень поняття функції та інших математичних понять. Математика - незавершена наука, вона розвивалася протягом тисячоліть, розвивається в нашу епоху і розвиватиметься надалі. 6

8 1.2. Визначення функції та графіка функції. Функція - одне з основних математичних та загальнонаукових понять. Воно зіграло і досі грає велику роль у пізнанні реального світу. Функція це не тільки математичне поняття, а й: функція робота, вироблена органом, організмом; роль, значення чогось; функція в математиці - закон залежності однієї величини від іншої; функція можливість, опція, вміння програми чи приладу. функція обов'язок, коло діяльності; функція персонажа в літературному творі; функція вид підпрограми інформатики соціальна функція. Визначення. Числовою функцією з областю визначення D називається відповідність, при якому кожному числу x з множини D зіставляється за деяким правилом однину y, що залежить від x. Прийнято називати x незалежною змінною чи аргументом, а залежною змінною чи значенням функції. Записують зазначене співвідношення між x і у в загальному вигляді так: у = f (x) або у = F (x) і т. п. Графік функції y = f (х) - це безліч усіх точок площини, координати (х, у ) яких задовольняють співвідношенню y = f(x). Існує кілька способів завдання функцій: аналітичний, словесний, графічний, табличний. Аналітичний метод. Найбільш поширений аналітичний спосіб завдання функції, при 7

9 якому функція задається формулою, яка встановлює, які обчислювальні операції треба зробити над х, щоб знайти у. Приклад: у = до х; V = s h; s = a b Словесний спосіб (прислів'я, приказки) Чим далі ліс, тим більше дров. Кашу олією не зіпсуєш. Меньше слів більше діла. Любиш кататися, люби та саночки возити. Графічний метод. Поширено і графічний спосіб завдання функції. Графіком функції у=f(x), де х із множини Е, називається безліч точок площини з прямокутними координатами (х,у), де х із Е, у=f(x). Графічний спосіб полягає у проведенні лінії (графіка), у якої абсциси зображують значення аргументу, а ординати відповідні значення функції. Цей спосіб дозволяє наочно уявити функціональну залежність. Приклад: п у т ь км час tТабличний метод. При табличному способі завдання функція задається як таблиці, у якій кожному за значення аргументу вказується відповідне йому значення функції. Табличний спосіб загальновідомий (таблиця квадратів та таблиця кубів натуральних чисел тощо). Цей спосіб одразу дає числове значення функції. У цьому його перевага перед іншими 8

10 способами. приклад. Таблиця квадратів чисел від 1 до 10: Види функцій (додаток 1): 1) лінійна: y = ax + b; 2) квадратична: y = ax 2 + bx + c; 3) зворотна пропорційність: y = k x; n 4) корінь n-ступеня: y = x; 5) модуль: y = x; 6) тригонометричні: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 7) показова: y = a x; 8) логарифмічна: y = log a x; 9) зворотні тригонометричні функції: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx. Сучасні енциклопедії, тлумачні словники розглядають функцію в 5 значеннях: 1. Явище, що залежить від іншого і змінюється в міру зміни цього явища. 2. Змінна величина, що змінюється в залежності від зміни іншої величини. 3. Робота, яку виконує орган, організм. 4. Обов'язок, коло діяльності особи, яка підлягає виконанню робота. 5. Значення, призначення, роль. Функція як поняття має одне родове значення, але у різних галузях діяльності поводиться по-різному, залишаючись однозначною сутністю. Поняття функції відіграє важливу роль, будучи базовим поняттяму вивченні алгебри та почав аналізу. 9

11 Висновок: Функція - одне з основних математичних та загальнонаукових понять, що виражає залежність одних змінних величин від інших. Воно зіграло і досі грає велику роль у пізнанні реального світу. Поняття функції відіграє важливу роль, будучи базовим поняттям у вивченні алгебри та почав аналізу. 10

12 Розділ 2. Практична частина Дослідження функціональної залежності у повсякденному житті. У повсякденному житті ми постійно стикаємося із функціональними залежностями. Ми знайшли безліч прикладів функцій, які зобразили за допомогою графіків. Задача 1. При температурі 0 про С рейка має довжину l 0 = 12,5 м. при зростанні температури відбувається теплове розширення рейки і її довжина, виражена в метрах, змінюється за законом l(t о) = l 0 (1 + t о),де = 1, коефіцієнт теплового розширення в градусах Цельсія мінус першого ступеня, t про температура (у градусах Цельсія). За якої температури рейка подовжиться на 6 мм. Відповідь висловити у градусах Цельсія. Рішення. Висловимо з заданої формули t: t = l l 0 αl 0. Зауважимо, l l 0 = Δl = 6мм = м, тоді t = Відповідь: = 100 = 40 C Приклад 1. З морозу в кімнату внесли банку з льодом і стали спостерігати за зміною температури речовини у банку : лід поступово танув, коли він розтанув весь, температура води почала підвищуватися, поки не зрівнялася з температурою в кімнаті. На малюнку 1 зображено графік залежності температури від часу. Мал. 1 11

13 Приклад 2. Розглянемо поділ святкового торта між гостями. Чому залежить кількість порцій? від числа гостей. А чого залежить вага порції? теж від кількості гостей. У першому випадку, чим більше гостей, тим більше порцій ми повинні розділити торт (рис. 2). Тут можна надати пряму пропорційну залежність. Мал. 2 У другому випадку, чим більше гостей, тим менша вага порції. Тут бачимо зворотну пропорційну залежність (рис. 3). Мал. 3 Приклад 3. Ми живемо у вік інформаційних технологій. Щодня ми отримуємо багато інформації з різних джерел: телебачення, радіо, газет, журналів, і, звичайно, з Інтернету. Відомо, що обсяг інформації кожні п'ять років збільшується вдвічі. Мал. 4 12

14 Якщо побудувати графік залежності обсягу інформації від часу, отримаємо деяку криву, яка в математиці називається експонентою і є графіком показової функції (рис. 4). Приклад 4. На голові людини росте волосся, яке регулярно стрижуть. Графік отриманої залежності (за умови, що стрижку роблять регулярно) схожий на функцію дробової частини числа, зміщену на одиниць вгору: y = x + a (рис. 5). Приклад 5. За час навчання у школі щороку переходимо до наступного класу. Така залежність подібна до функції цілої частини числа y = (x) на обмеженому проміжку (рис. 6). Мал. 5 Мал. 6 Приклад 6. Зміна температурного режиму в нашій кліматичній зоні підпорядковується законам тригонометричних функцій (рис. 7). 7 Приклад 7. Садово-городні процеси теж можна у вигляді функції та побудувати графік. Наприклад, яблуко росло, зріло, потім його висушили (рис. 8). Отримали деяку кускову функцію. 13

15 Мал. 8 Функції це математичні портрети стійких закономірностей, пізнаваних людиною. Щоб проілюструвати характерні властивостіфункцій звернемося до прислів'їв та приказок. Адже прислів'я це також відображення стійких закономірностей, вивірене багатовіковим досвідом народу. Графіком можна проілюструвати сенс будь-якого прислів'я. "Чим далі в ліс, тим більше дров" Мал. 9 Графік представить кількість дров як функцію шляху. Ось, наприклад, прислів'я «Яке життя проживеш, таку славу наживеш» на графіку виглядатиме таким чином (рис.10):

16 З графіка випливає, що якщо протягом свого життя будеш робити негативні справи, вчинки, то і слава про тебе буде негативною, і навпаки. Або таке прислів'я «Пересів гірше недосіву» на графіку виглядатиме так (рис. 11): Рис. 11 З графіка видно, що якщо насіння мало, то й урожай буде малий, якщо насіння занадто багато, то ним буде рости погано, і насіння втратиш, і врожаю не збереш, треба посадити оптимальну кількість насіння та врожай буде високим. Висновок: У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з функціональними залежностями. Я знайшов багато прикладів функцій, які зобразили за допомогою графіків. 15

17 2.2. Ілюстрація функціональної залежності у роботі електрика. Завдання 1. Електробезпека (дія електричного струмуна організм людини) Дія сили струму на організм людини (в ма) Величина сили струму Різні величини струму частотою 50 Гц діють наступним чином: 1-2) 5 10 ма біль у м'язах, судомні їх скорочення, руки важко відірвати від електродів; 2-3) ма болі, руки неможливо відірвати від електродів; 3-4) ма біль у руках та грудях, дихання утруднене, можливий параліч дихання та втрата свідомості; 4-5) ма при тривалій дії можлива клінічна смерть; 5-6) 100 ма і більше за тривалості більше 3с можлива клінічна смерть. Завдання дослідження 2. Дослідити: а) Залежність сили струму від напруги. Сила струму, 0,5 1 1,5 ампер Напруга, вольт 16

18 с і ла 2 1,5 1 т о к а 0, Значення Y напруга Результати дослідів показують, що напруга і сила струму залежать один від одного, причому ця залежність прямо пропорційна, тобто. зі збільшенням напруги збільшується сила струму. б) Залежність сили струму від опору провідника при тому самому напрузі. Я провів досвід з трьома різними провідниками при напрузі в 2 вольта і отримав наступні результати: досвіду Опір провідника, Ом Сила струму в ланцюгу, А,5 с і л а т о к а 2,5 2 1,5 1 0, Стовпець1 опір Досвід показує, що опір і сила струму також залежні величиничим більше опір провідника, тим менша сила струму. 17

19 Залежність сили струму, напруги, опору людина враховує у своєму повсякденному житті, наприклад: лінії електропередач виготовляють із металів із маленьким опором (мідь, алюміній). Завдання 3. Неможливо уявити життя сучасної людинибез змінного електричного струму, оскільки всі прилади: побутові, електронагрівальні, телевізори, комп'ютери тощо, працюють від мережі змінного струму. Напруга у наших розетках змінюється за таким законом: u= U max cos(wt), де U max = 308 B, w=314. Побудувати графік функції. Завдання 4. Накреслити розгорнуту діаграму трифазного струму. Розгорнута діаграма трифазного струму. 18

20 Завдання 5. Подати функціональну залежність форми сигналу електричного струму. Форми сигналу електричного струму: 1. постійної у вигляді прямої лінії на тимчасовому графіку; 2. змінною синусоїдальною гармонікою, що добре описується основними тригонометричними співвідношеннями; 3. меандром, що грубо нагадує синусоїду, але з різкими, яскраво вираженими кутами, які в окремих випадках можуть бути добре згладжені; 4. пульсуючою, коли напрямок залишається одним і тим же без зміни, а амплітуда коливається періодично від нульового до максимального значення за певним законом. Завдання 6. На даному графіку бачимо порівняльну характеристику потужності побутових приладів. Які із побутових приладів мають найбільшу потужність? 19

21 Потужність побутових приладів (Вт) Завдання 7. Наскільки вигідне світлодіодне освітлення в порівнянні зі звичайними лампами розжарювання з економічної точки зору? Вуличне світлодіодне освітлення дуже вигідне з економічної точки зору. Лише невеликої кількості електроенергії (наприклад, 100 Вт) достатньо для освітлення достатньо великої площі. Для порівняння: світловий потік світлодіодної лампи, що споживає 100 Вт, становить близько Люмен, це як від 6 звичайних ламп розжарювання, тобто економія понад 80%. 20

22 Завдання 8. Скласти порівняльну характеристику світлодіодних ламп, люмінесцентних та ламп розжарювання. Характеристики Світлодіодна лампа Люмінесцентна лампа Лампа розжарювання Потужність що споживається 5 W 15W 40 W Ефективність світловіддачі 90 Lm/W 30 Lm/W 10,5 Lm/W Світловий потік 450 Lm Lm Робоча температура 70 C 60 C 60 годин Екологічність і Містить ртуть і 21

23 I. Висновок Під час роботи ми проаналізували і вивчили літературу з історії розвитку функції, досліджували на прикладах функціональну залежність у житті. Короткий оглядРозвиток поняття функції призводить до думки про те, що еволюція ще далеко не закінчена і, ймовірно, ніколи не закінчиться, як ніколи не закінчиться і еволюція математики в цілому. Нові відкриття та запити природознавства та інших наук призведуть до нових розширень поняття функції та інших математичних понять. Функція - одне з основних математичних та загальнонаукових понять, що виражає залежність одних змінних величин від інших. Воно зіграло і досі грає велику роль у пізнанні реального світу. Поняття функції відіграє важливу роль, будучи базовим поняттям у вивченні алгебри та почав аналізу. Особливістю нашої роботи є підбір прикладів функціональних залежностей із повсякденного життя. Ми зрозуміли, що таких прикладів можна навести дуже багато. В результаті роботи ми досягли розуміння важливості вивчення математики та отримали можливість показати однокурсникам красу та значущість математики. Виконуючи роботу, ми здобули не тільки необхідні знання, вміння та навички, а й певний особистісний досвід. Теоретична значущість нашої дослідницької роботи полягає в тому, що результати дослідження можуть бути використані для студентів технікумів щодо теми «Функція». Практична значущість моєї роботи у тому, що результати дослідження можна використовувати студентами технікумів підвищення освітнього рівня щодо застосування функції у практичній діяльності електрика. 22

24 Література 1. Віленкін Н. Я. Функції в природі та техніці: Книга для позакласного читання 2 е вид., Випр. М: Просвітництво, Нагібін Ф.Ф. Математична шкатулка. - М., Просвітництво, Ульяновська Н. Н. О, функція, як ти Важлива / / Математика Енциклопедичний словник юного математика. Упорядник Савін А.П.- М., Просвітництво, Енциклопедичний словник молодого математика. - М: Педагогіка Рибніков К.А. Виникнення та розвитку математичної науки, Москва, Просвітництво, 1987 г. 7. Колягін Ю. М. «Алгебра 10,11 классы»-3-е изд.- М. : Видавництво Просвітництво, Глейзер Г.І. Історія математики в школі: 9-10 клас – М.: Просвітництво Інтернет-ресурси: function.ru

25 Види функцій. Додаток 1 Розглянемо основні існуючі видифункцій та його властивості. 24

26 25

27 26

28 1. Квадратична функція. 27

29 28

30 29

31 30

32 31

33 32

34 33

35 34

36 35

37 36

38 37

39 38

40 39

ББК.4я7т+.4я7.6 М5 Підручник включено до федерального списку Мерзляк А.Г. М5 Алгебра: 9 клас: підручник для учнів загальноосвітніх організацій/А.Г. Мерзляк, В.М. Поляків. М.: Вентана-Граф, 07. 368

Математичний аналіз Розділ: Введення в аналіз Поняття функції (основні визначення, класифікація, основні характеристики поведінки) Лектор Рожкова С.В. 2012 р. Література Піскунов Н.С. Диференційне

Банк завдань на тему «ВИРОБНИЧА» МАТЕМАТИКА клас (профіль) Учні повинні знати/розуміти: Поняття похідної. Визначення похідної. Теореми та правила знаходження похідних суми, різниці, твори

Крайова науково-практична конференція навчально-дослідних та проектних робіт учнів 6-11 класів «Прикладні та фундаментальні питання математики» Методичні аспекти вивчення математики Використання

Отже, у розділі 3 сформулювали визначення наступних математичних понять: функція, область визначення, область значень функції; монотонність (зростання та спадання) функції; обмеженість функції

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ МОСКІВСЬКОЇ ОБЛАСТІ ГОУ У МО «Державний гуманітарно-технологічний університет» Промислово-економічний коледж

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ МІСТА МОСКВИ Державна бюджетна загальноосвітня установа міста Москви «Школа 830» 25362, м. Москва, вул. Велика Набережна, д.23, тел./факс: 8-495-49-3-45 ІПН/КПП

Банк завдань на тему «ВИРОБНИЧА» МАТЕМАТИКА 11 клас (база) Учні повинні знати/розуміти: Поняття похідної. Визначення похідної. Теореми та правила знаходження похідних суми, різниці, твори

Розділ 8 Функції та графіки Змінні та залежності між ними. Дві величини і називаються прямо пропорційними, якщо їх відношення постійно, тобто якщо =, де постійне число, що не змінюється зі зміною

ПЕРЕДМОВА Дорогі читачі! Цей підручник завершує курс математики для 5-9 класів. Зміст підручника спрямований на розширення та поглиблення знань про вже відомі вам поняття, на знайомство з новими

Електричні ланцюги несинусоїдального струму «на долоні» Якщо на ланцюг впливають несинусоїдальні джерела ЕРС або струму, або в ланцюгу присутні нелінійні елементи, то і в такому ланцюгу струми і напруги

Урок а Найменування розділів та тем Календарно-тематичне планування з алгебри 7 клас (3 години на тиждень, 102 години на рік) За підручником О.Г. Мордковіча, Л.А. Олександрової та ін. Характеристика основних

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Томарівська середня загальноосвітня школа 2 Яковлівського району Білгородської області» імені Героя Радянського СоюзуШвеця В.В. Конспект уроку

Загальні вказівки На іспиті з математики вступник має показати: чітке знання математичних визначень та теорем, передбачених програмою, вміння доводити ці теореми; вміння точно і стисло

ЗМІСТ АЛГЕБРУ І ПОЧАТКУ АНАЛІЗУ ФУНКЦІЇ...10 Основні властивості функцій...11 Парність і непарність...11 Періодичність...12 Нулі функції...12 Монотонність (зростання, спадання)...13 Екстремуми (максимуми)

РОБОЧА ПРОГРАМА ПО АЛГЕБРІ 7 А, Б клас Кількість годин: Загальне: 102 години У тиждень: 3 години УМК: Програми Алгебра 7-9 / авт.-уклад. Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. Допущено Міністерством освіти Російської Федерації

РОБОЧА ПРОГРАМА ПО АЛГЕБРІ ДЛЯ 8 КЛАСІВ (загальноосвітній рівень) Упорядники: Тихонов В.А., вчитель математики; Термін реалізації програми: 1 рік Робоча програма складена на основі федерального

СЕРЕДНЯ ПРОФЕСІЙНА ОСВІТА С. Г. ГРИГОР'ЄВ, С. В. ІВОЛГІНА МАТЕМАТИКА За редакцією проф. В. А. Гусєва ПІДРУЧНИК Рекомендовано Федеральним державною установою«Федеральний інститут розвитку

Тема. функція. Методи завдання. Неявна функція. Зворотня функція. Класифікація функцій Елементи теорії множин. Основні поняття Одним із основних понять сучасної математики є поняття множини.

0 клас, Математика (профіль) 0-08 учгод Тема модуля «Коріння, ступеня, логарифми» Знати Поняття дійсного числа, множини чисел, властивості дійсних чисел, ділимість цілих чисел****, властивості

ПОЗААУДИТОРНА САМОСТІЙНА РОБОТА З МАТЕМАТИКИ Розробила: Каменовська О.С. ГОУ НВО ЯО ПУ 1 2013 Тема. Функції, їх властивості та графіки. Ступінні, показові, логарифмічні та тригонометричні

Тема Ціла та дробова частини числа Заняття 1 (години) Мета заняття Дидактична Познайомити учнів з цілою та дробовою частиною числа Встановити їх властивості та співвідношення між ними Навчити будувати найпростіші

Клас 7.1, 7.2, 7.3, 7.6 Підручник: Алгебра (Макаричев Н.В.) Модуль 5 «Функції» У тесті перевіряються теоретична та практична частини. Що таке функція? Графік функції. Графічне подання статистичних

ДОДАТОК 17 до ООП СОО ФК ДЕРЖСТАНДАРТ МАОУ ліцей м. Бор Муніципальна автономна загальноосвітня установа ліцей м. Бор Нижегородської області Робоча програма з навчального предмета «Алгебра та початки математичного

Анотація до робочої програми з алгебри та початків аналізу ( Базовий рівень) до підручника «Алгебра та початку математичного аналізу», 11 клас авт. С.М.Микольського, М.К.Потапова, Н.Н.Решетникова, А.В. Шевкіна

Формування поняття похідної та інтеграла в історії математики Галікєєв В.З. (наук. кер. Дорофєєв А.В.) Стерлітамакська філія «Башкирська державний університет» Стерлітамак, Республіка Башкортостан

Науково-дослідна робота Математика «Застосування екстремальних властивостей функції для вирішення рівнянь» Виконала: Гудкова Олена, що навчається 11 класу «Г» МБОУ ЗОШ «Аннінський Ліцей» с.м.т. Анна Керівник:

Умк: Ю. Н Макарічев, Алгебра, 8 клас, М.: Просвітництво, 20 Ю. Н. Макарічев, Алгебра, 9 клас, М.: Просвітництво, 20 Л. С. Атанасян, Геометрія, 7-9 клас, М.: Освіта, 20 Вимоги до рівня підготовки

РОБОЧА ПРОГРАМА з предмета «Алгебра та початки математичного аналізу» для 10 «А» класу на 2018 2019 рік Укладач: Шевельова Марина Станіславівна, вчитель математики 1 1. Відомості про програму (приблизну/типову/

Додаток до ООП ТОВ Класи -9 Робоча програма навчального предмета «Алгебра» ФКГОС м. Липецьк 208 209 навчальний рік ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Вивчення математики на щаблі основної загальної освіти спрямоване

Тема уроку 1 Числові висловлювання. Відсотки. Дата 8А 8Б КЕС (Код елемента змісту) 1.3.6 1.5.4 Елемент змісту Числові вирази, порядок дій у них, використання дужок. Закони арифметичних

Крайова науково-практична конференція навчально-дослідних та проектних робіт учнів 6-11 класів «Прикладні та фундаментальні питання математики» прикладні питання математики Математична індустрія

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Середня школа 2 м. Навашине» ЗАТВЕРДЖЕНО наказом директора МБОУ «Середня школа 2 м. Навашине» Від вересня 208 р. 363 РОБОЧА ПРОГРАМА З АЛГЕБРЕ

Контрольні роботи з алгебри та початків математичного аналізу 10 клас Контрольна робота 1. Тема: «Основні тригонометричні тотожності». 1. Знайдіть значення виразу: а) 2cos 60º - 3 tg45º + sin

Операції над функціями та завдання минулих століть, пов'язані з функціями Гайсина Алія Ільнурівна студентка факультету іноземних мовЄІ КФУ Науковий керівник: Миронова Юлія Миколаївна, кандидат фізикоматематичних

ПРОГРАМА вступного випробування з математики Програму вступних іспитів курсу математики складено відповідно до сучасних вимог перевірки знань абітурієнтів. На іспиті з математики

МАТЕМАТИКА, 5 клас, УМК Анотація, Травень 20 до крайової діагностичної роботи з МАТЕМАТИКИ 5 клас (2 травня 20 р.) для учнів, які навчаються навчально-методичними комплектами: Н.Я. Віленкіна та ін; І.І. Зубарєвої

Зміст: 1. ПОЯСНЮВАЛЬНИЙ ЗАПИС. ДИЧНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ.11

Державна бюджетна загальноосвітня установа Середня загальноосвітня школа 354 Московського району Санкт-Петербурга методичному об'єднанніЗОШ 354 Протокол от.08.2012 Керівник

Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри для 8 класу розроблена відповідно до Примірної програми основної загальної освіти з математики, з урахуванням вимог федерального компонента

I МВС РОЗС ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА КАЗЕННА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА СЕРЕДНЬОЇ (ПОВНОГО) ЗАГАЛЬНОЇ ОСВІТИ «НОВОЧЕРКАСЬКА СУВОРІВСЬКА ВІЙСЬКОВИНА УЧИЛИЩ ЦДІ»

РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОГО ПРЕДМЕТУ Вчитель Новицька Світлана Олександрівна Навчальний рік 2018 / 2019 Клас 10 Назва навчального предмета Алгебра та початку математичного аналізу. Кількість годин на рік

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ МІСТА МОСКВИ ДЕРЖАВНИЙ БЮДЖЕТНИЙ ЗАГАЛЬНООСВІТНИЙ ЗАКЛАД МІСТА МОСКВИ «ШКОЛА 1223» (ДБОУ Школа 1223) «Узгоджено» Метод

Державна бюджетна загальноосвітня установа ліцей 344 Невського району Санкт-Петербурга РОБОЧА ПРОГРАМА ПО АЛГЕБРІ І ПОЧАТКАМ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ДЛЯ 10 «_» КЛАСА ВЧИТЕЛЯ (прізвище, ім'я,

Тема уроку Ланцюг змінного струму, що містить ємнісний опір Мета уроку: Дослідити механізм перебігу змінного струму в ланцюзі, що містить ємнісний опір Аналіз проведеного викладачем

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа Вільська середня школа Розглянуто На засіданні педагогічної ради Протокол від 2.08.207 Стверджую. Директор МБОУ Вільської середньої школи О.І. Швиндова

РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОГО ПРЕДМЕТУ «АЛГЕБРА І ПОЧАТКУ АНАЛІЗУ» Федеральний компонент державного освітні стандарти середньої загальної освіти (10-11 класи) (2004 рік) 1. ПЛАНУЮЧІ РЕЗУЛЬТАТИ

Функція Поняття функції Способи завдання функції Характеристики функції Зворотна функція Межа функції Межа функції у точці Односторонні межі Межа функції при x Безкінечно велика функція 4 Лекція

Лекція 2. Функції 2-1 Поняття функції та способи завдання 2-2 Властивості функцій 2-3 Елементарні функції 2-4 Послідовності 23 вересня 2007 р. Епіграф Математичний аналіз не менш всеосяжний, ніж

Анотація робочих програм з алгебри (7-9 класи) Упорядники: Александрова І. В., Маркова О.П., Григор'єва Н.А., Павліна І.В., Семенова Н.Л. Робочі програми з алгебри для 7-9-х класів розроблено

Глава 8 ФУНКЦІЇ І ГРАФІКИ Алгоритми А- Завдання стандартних функцій А- Поняття функції. Графік функції А-3 Канонічний запис залежностей А- Завдання стандартних функцій. До стандартних функцій віднесемо

П/п Тема уроку (кількість годин) Код елементу змісту (КЕС) Календарно-тематичний план з алгебри (7 клас) Елемент змісту Розділ 1: Математична мова. Математична модель(14 год) 1 Числові вирази

Розділ VІ. Глосарій Матриця. Сукупність чисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що містить рядків n і m стовпців називається матрицею розмірності Визначник матриці. Визначником квадратної

Пояснювальна записка В Останніми рокамиспостерігається різкий сплеск активності на ринку навчальної літератури з математики загальноосвітньої школи: з'являються десятки нових навчальних та методичних посібників,

Діагностична робота з МАТЕМАТИКИ 9 грудня 2010 11 клас Варіант 5 (без похідної) Математика. 11 клас. Варіант 5 (без похідної) 2 Інструкція з виконання роботи На виконання екзаменаційної

Вимоги до рівня підготовленості учнів У результаті вивчення математики профільному рівніучень повинен знати / розуміти: значення математичної науки для вирішення завдань, що виникають у теорії

Клас 7.3, 7.5 Підручник: Алгебра (Макарич Н.В.) Тема модуля «Формули скороченого множення. Функції» У тесті перевіряються теоретична та практична частини. Формули скороченого множення ТЕМА

МАТЕМАТИКА, клас годин на тиждень, всього 0 години уроку Зміст навчального матеріалу Кількість уроків п. « Натуральні числата шкали» (8 уроків) Дата - -7 8-0 - -7 8 9- -9 0 - -7 8- -8 9- -8 9- -9 70-7 7 7-7

АВТОНОМНА НЕКОМЕРЦІЙНА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ОРГАНІЗАЦІЯ «ШКОЛА СОСНИ» СТВЕРДЖУЮ Директор І.П. Гурьянкіна Наказ 8 від «9» серпня 017 р. Робоча програма з предмета «Алгебра та початки математичного

МАТЕМАТИКА ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Дана робоча програмарозроблена на основі Федерального компонента Державного освітнього стандарту основної загальної освіти та Програми основної загальної освіти

МУНІЦИПАЛЬНЕ АВТОНОМНЕ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА ГАГІНСЬКА СЕРЕДНЯ ШКОЛА ГАГІНСЬКОГО РАЙОНУ НИЖЬОМІСЬКОЇ ОБЛАСТІ ПРИЙНЯТО ПЕДАГОГІЧНОЮ РАДОЮ МАОУ ГАГІНСЬКСШ від28.

СЛІДЧИЙ КОМІТЕТ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА КАЗЕННА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСЬКИЙ КАДЕТСЬКИЙ КОРПУС СЛІДКОВИЙ 9 , М.

Реферат на тему:

Функція (математика)

План:

Вступ

• 1 Історія
• 2 Визначення
  • 2.1 Інтуїтивне визначення
  • 2.2 Теоретико-множинне визначення
• 3 Позначення
  • 3.1 Функції кількох аргументів
• 4 Способи завдання функції
  • 4.1 Аналітичний спосіб
  • 4.2 Графічний спосіб
• 5 Пов'язані визначення
  • 5.1 Звуження та продовження функції
  • 5.2 Образ та прообраз (при відображенні)
  • 5.3 Тотожне відображення
  • 5.4 Композиція відображень
  • 5.5 Зворотнє відображення
• 6 Властивості
  • 6.1 Образ і прообраз під час відображення
    • 6.1.1 Взяти образ
    • 6.1.2 Взяття прообразу
  • 6.2 Поведінка функцій
    • 6.2.1 Сюр'єктивність
    • 6.2.2 Ін'єктивність
    • 6.2.3 Бієктивність
    • 6.2.4 Зростання та спадання
    • 6.2.5 Періодичність
    • 6.2.6 Парність
    • 6.2.7 Екстремуми функції
• 7 Приклади
• 8 Варіації та узагальнення
  • 8.1 Багатозначні функції
Примітки
Література

Вступ

Графік функції
.

Функція- Математичне поняття, що відображає зв'язок між елементами множин. Точніше, це «закон», за яким кожному елементу однієї множини (названому областю визначення ) ставиться у відповідність певний елемент іншої множини (названої областю значень ).

Математичне поняття функції виражає інтуїтивне уявлення у тому, як одна величина повністю визначає значення інший величини. Так значення змінної xоднозначно визначає значення виразу x 2, а значення місяця однозначно визначає значення наступного за ним місяця, також будь-якій людині можна зіставити іншу людину - її батька. Аналогічно, деякий задуманий заздалегідь алгоритм за вхідними даними, що варіюються, видає певні вихідні дані.

Зазвичай розглядаються числові функції, які ставлять одні числа у відповідність іншим. Такі функції мають ряд відмінних властивостей і зручно представляються на малюнках як графіків.

1. Історія

Термін «функція» (у певному вужчому сенсі) був уперше використаний Лейбніцем (1692 рік). У свою чергу, Йоганн Бернуллі в листі до того ж Лейбніцу вжив цей термін у сенсі, ближчому до сучасного.

Спочатку, поняття функції не відрізнялося від поняття аналітичного уявлення. Згодом з'явилося визначення функції, дане Ейлером (1751), потім - у Лакруа (1806) - вже практично в сучасному нам вигляді. Нарешті, загальне визначення функції (у сучасній формі, але для числових функцій) було дано Лобачевським (1834) і Діріхле (1837).

Наприкінці ХІХ століття поняття функції переросло рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, невдовзі Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) та Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.

2. Визначення

Існують два визначення функції:

• інтуїтивне визначення, де поняття функції перекладається звичайною мовою, використовуючи слова «закон», «правило» або «відповідність»;
• теоретико-множинне визначення (на основі поняття бінарного відношення), яке є найсуворішим (у сучасному уявленні).

Обидва визначення не суперечать одне одному.

2.1. Інтуїтивне визначення

Функція f (відображення, операція, оператор) - це законабо правило, згідно з яким кожному елементу xз множини Xставиться у відповідність єдиний елемент yз множини Y .

При цьому кажуть, що функція f заданана безлічі X, або що f відображає Xв Y .

Якщо елементу зіставлено елемент , то кажуть, що елемент yзнаходиться в функціональної залежності fвід елемента x. При цьому змінна xназивається аргументом функції fабо незалежної змінної , безліч Xназивається областю завдання або областю визначення функції, а елемент y, що відповідає конкретному елементу x - приватним значенням функції fу точці x. Безліч Yвсіх можливих приватних значень функції fназивається її областю значень або областю зміни .

2.2. Теоретико-множинне визначення

У теоретичній математиці функцію fзручно визначити як бінарне відношення (тобто безліч упорядкованих пар), яке задовольняє наступній умові: для будь-якого існує єдиний елемент такий, що .

Це дозволяє говорити про те, що елементу зіставлений один і лише одинелемент такий, що .

Таким чином, функція- це упорядкована трійка(або кортеж) об'єктів (f,X,Y) , де

3. Позначення

Якщо задана функція f, яка визначена на безлічі Xі набуває значень у множині Yтобто функція f відображаєбезліч Xв Y, то

Наявність функціональної залежності між елементом та елементом

3.1. Функції кількох аргументів

Визначення функції легко узагальнити у разі функції багатьох аргументів.

Якщо безліч Xє декартовим добутком множин, тоді відображення виявляється n-місцевим відображенням, при цьому елементи впорядкованого набору називаються аргументами (даною n-місцевої функції), кожен з яких пробігає своє безліч:

де.

В цьому випадку y = f(x) означає, що .

4. Способи завдання функції

4.1. Аналітичний спосіб

Функція математичний об'єкт є бінарним відношенням, що задовольняє певним умовам. Функцію можна встановити безпосередньо як безліч упорядкованих пар, наприклад: є функція . Однак, цей спосіб абсолютно непридатний для функцій на нескінченних множинах (якими є звичні речові функції: статечна, лінійна, показова, логарифмічна тощо).

Завдання функції користуються выражением: . При цьому, xє змінна, що пробігає область визначення функції, а y- Область значень. Цей запис говорить про наявність функціональної залежності між елементами множин. хі yможуть пробігати будь-які об'єкти будь-якої природи. Це можуть бути числа, вектори, матриці, яблука, кольори веселки. Пояснимо на прикладі:

Нехай є безліч яблуко, літак, груша, стілець і безліч людина, паровоз, квадрат . Задамо функцію f наступним чином: (яблуко, людина), (літак, паровоз), (груша, квадрат), (стілець, людина) . Якщо ввести змінну x, що пробігає множину і змінну y, що пробігає множину, вказану функцію можна задати аналітично, як: .

Аналогічно можна задавати числові функції. Наприклад: де x пробігає безліч дійсних чисел задає деяку функцію f. Важливо розуміти, що вираз не є функцією. Функція як об'єкт є безліч (упорядкованих пар). А це вираз як об'єкт є рівність двох змінних. Воно задає функцію, але з нею.

Однак, у багатьох розділах математики, можна позначати через f(x) як саму функцію, так і аналітичний вираз, що її задає. Ця синтаксична угода є вкрай зручною та виправданою.

4.2. Графічний спосіб

Числові функції також можна задавати за допомогою графіка. Нехай - речова функція n змінних.

Розглянемо деякий (n+1)-мірний лінійний простір над полем дійсних чисел (оскільки функція речова). Виберемо у цьому просторі будь-який базис (). Кожній точці функції можна порівняти вектор: . Таким чином, ми матимемо безліч векторів лінійного простору, що відповідають точкам цієї функції за вказаним правилом. Точки відповідного афінного простору утворюватимуть деяку поверхню.

Якщо як лінійний простір взяти евклідовий простір вільних геометричні вектори(Спрямованих відрізків), а число аргументів функції f не перевищує 2, зазначене безліч точок можна зобразити наочно у вигляді креслення (графіка). Якщо навіть вихідний базис взяти ортонормованим, отримаємо "шкільне" визначення графіка функції.

Для функцій 3 аргументів і більше таке уявлення не застосовується через відсутність у людини геометричної інтуїції багатовимірних просторів.

Однак, і для таких функцій можна вигадати наочне напівгеометричне уявлення (наприклад кожному значенню четвертої координати точки зіставити деякий колір на графіку)

5. Пов'язані визначення

5.1. Звуження та продовження функції

Нехай дано відображення та .

Функція, яка приймає на Mті ж значення, що і функція f, називається звуженням(або, інакше обмеженням) функції fна безліч M .

Звуження функції fна безліч Mпозначається як .

Якщо функція така, що вона є звуженням для деякої функції, то функція f, у свою чергу, називається продовженнямфункції gна безліч X .

5.2. Образ та прообраз (при відображенні)

Елемент y = f(x) , який зіставлений елементу x, називається чиномелемента (крапки) x(при відображенні f ).

Якщо взяти ціле підмножина Aобласті визначення функції f, то можна розглянути сукупність образів всіх елементів множини A, а саме підмножина області значень (функції f) виду

,

яке, називається образом множини A(при відображенні f). Це безліч іноді позначається як f[A] або A f .

Навпаки, взявши деяку підмножину Bобласті значень функції f, можна розглянути сукупність тих елементів області визначення (функції f), чиї образи потрапляють у безліч B, А саме - безліч виду

,

яке називається ( повним) прообразомбезлічі B(при відображенні f ).

У тому окремому випадку, коли безліч Bскладається з одного елемента, скажімо, B = {y) , безліч f − 1 ({y}) = {x:f(x) = y} має більш просте позначення f − 1 (y) .

5.3. Тотожне відображення

Відображення, у яких збігаються область визначення та область значень, називаються відображеннями заданої множини у собіабо перетвореннями.

Зокрема, перетворення , яке зіставляє кожній точці xбезлічі Xїї саму або, що теж саме,

f(x) = x для кожного ,

називається тотожним.

Це відображення має спеціальне позначення: id Xабо, простіше, id(якщо з контексту зрозуміло, яка множина мається на увазі). Таке позначення має своє походження англ. слову identity(«Ідентичний»).

Інше позначення тотожного перетворення - 1 X. Таке відображення є унарною операцією, заданою на множині X. Тому, нерідко, тотожне перетворення називають одиничним.

5.4. Композиція відображень

Нехай і - два заданих відображення, що область значень першого відображення є підмножиною області визначення другого відображення. Тоді для кожного однозначно визначається такий елемент, що y = f(x) , але для цього самого yоднозначно визначається елемент такий, що z = g(y) . Тобто для кожного однозначно визначається елемент такий, що z = g(f(x)) . Іншими словами, визначено відображення hтаке, що

h(x) = g(f(x)) для всякого.

Це відображення називається композицієювідображень fі gі позначається

5.5. Зворотнє відображення

Якщо відображення є взаємно однозначним або бієктивним (див. нижче), то визначено відображення, у якого

• область визначення (множина Y) збігається з областю значень відображення f ;
• область значень (множина X) збігається з областю визначення відображення f ;
• x = f − 1 (y) тоді і лише тоді, коли y = f(x) .

Таке відображення називається зворотнимпо відношенню до відображення f .

Відображення, у якого визначено протилежне, називається оборотним.

У термінах композиції функції властивість оборотності полягає в одночасному виконанні двох умов: і .

6. Властивості

Нехай задана функція , де Xі Y- дані множини, причому X = domf . Кожна така функція може мати деякі властивості, опис яких наведено нижче.

6.1. Образ і прообраз під час відображення

6.1.1. Взяти образ

Припустимо, Aі B- підмножини області визначення. Взяти образ (або, що те саме, застосування оператора f) має наступні властивості:

Останні дві властивості, взагалі кажучи, допускають узагальнення на будь-яку кількість множин більше двох (як воно тут сформульовано).

6.1.2. Взяття прообразу

Припустимо, Aі B- підмножини множини Y .

За аналогією із взяттям образу, взяття прообразу (перехід до прообразу) має також наступні дві очевидні властивості:

Дані властивості також допускають узагальнення на будь-яку кількість множин, більше двох (як воно тут сформульовано).

У разі, якщо відображення обернемо(див. нижче), прообраз кожної точки області значень одноточковий, тому для оборотних відображень виконується наступна посилена властивість для перетинів:

6.2. Поведінка функцій

6.2.1. Сюр'єктивність

Функція fназивається сюр'єктивної(або, коротко, сюр'єкція), якщо кожному елементу множини прибуття може бути зіставлений хоча б один елемент області визначення. Іншими словами, функція f сюр'єктивна, якщо образ множини Xпри відображенні збігається з безліччю Y : f[X] = Y .

Таке відображення називається ще відображенням на .

Якщо умова сюр'єктивності порушується, то таке відображення називають відображенням у.

6.2.2. Ін'єктивність

Функція fназивається ін'єктивної(або, коротко, ін'єкція), якщо різним елементам множини Xзіставлені різні елементи множини Y. Більше формально, функція f ін'єктивна, якщо для будь-яких двох елементів таких, що f(x 1) = f(x 2) , неодмінно виконується x 1 = x 2 .

Іншими словами, сюр'єкція – це коли «у кожного образу є прообраз», а ін'єкція – це коли «різні – у різні». Тобто при ін'єкції не буває так, щоб два чи більше різних елементів Xвідображалися в один і той самий елемент Y. А при сюр'єкції не буває так, щоб якийсь елемент Yне мав прообразу.

6.2.3. Бієктивність

Якщо функція є і сюр'єктивної, і ін'єктивної, то таку функцію називають бієктивноїабо взаємно однозначною.

6.2.4. Зростання та спадання

Нехай дана функція Тоді

• функція fназивається зростаючоюна M, якщо

.

• функція fназивається строго зростаючоюна M, якщо

.

• функція fназивається спадаючоюна M, якщо

.

• функція fназивається строго спадаючоюна M, якщо

.

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

6.2.5. Періодичність

Функція називається періодичною періодомякщо справедливо

.

Якщо це рівність не виконано ні для якого, то функція fназивається аперіодичної.

6.2.6. парність

• Функція fназивається парною, якщо справедлива рівність

• Якщо не виконується жодна з цих рівностей, то функція називається функцією загального вигляду.

6.2.7. Екстремуми функції

Нехай дана функція і - внутрішня точка області визначення f. Тоді

7. Приклади

Залежно від цього, яка природа області визначення та області значень, розрізняють випадки, коли це області - це:

• абстрактні множини - множини, без будь-якої додаткової структури;
• множини, які наділені деякою структурою.

У першому випадку розглядаються відображення у найзагальнішому вигляді та вирішуються найбільш загальні питання. Таким загальним питанням, наприклад, є питання про порівняння множин за потужністю: якщо між двома множинами існує взаємно однозначне відображення (бієкція), то дві дані множини називають еквівалентнимиабо рівнопотужними. Це дозволяє провести класифікацію множин у вигляді єдиної шкали, початковий фрагмент виглядає так:

• кінцеві множини - тут потужність множини збігається з кількістю елементів;
• лічильні множини - множини еквівалентні множині натуральних чисел;
• безлічі потужності континууму (наприклад, відрізок дійсної прямої або сама дійсна пряма).

Відповідно, має сенс розглядати такі приклади відображень:

• кінцеві функції - відображення кінцевих множин;
• послідовності - відображення лічильної множини в довільну множину;
• континуальні функції - відображення незліченних множин у кінцеві, лічильні чи незліченні множини.

У другому випадку, основний об'єкт розгляду - задана на безлічі структура і те, що відбувається з цією структурою при відображенні: якщо існує однозначне відображення однієї структури в іншу, що при відображенні зберігаються властивості заданої структури, то кажуть, що між двома структурами встановлено ізоморфізм . Отже, ізоморфні структури, задані у різних множинах, неможливо розрізнити, у математиці заведено говорити, що це структура розглядається «з точністю до ізоморфізму».

Існує велика різноманітність структур, які можуть бути задані на множинах. Сюди належить:

• структура порядку – частковий чи лінійний порядок.
• Алгебраїчна структура - групоїд, напівгрупа, група, кільце, тіло, область цілісності або поле.
• структура метричного простору – тут задається функція відстані;
• структура евклідового простору – тут задається скалярний твір;
• структура топологічного простору – тут задається сукупність т.з. «відкритих множин»;
• структура вимірного простору - тут задається функція (захід), яка діє на підмножинах даного простору.

Природа множин визначає і властивості відповідних функцій, оскільки ці властивості формулюються в термінах, заданих на множинах структурах. Наприклад, властивість безперервності, вимагає завдання топологічної структури. .

8. Варіації та узагальнення

8.1. Багатозначні функції

Через визначення функції, заданому значенню аргументу відповідає рівно одне значення функції. Незважаючи на це, нерідко можна почути про т.з. багатозначні функції. Насправді, це лише зручне позначення функції, область значень якої саме є сімейством множин.

Нехай , де - сімейство підмножин множини Y. Тоді f(x) буде безліччю для всякого.

Примітки

Література

• функція. Математичний енциклопедичний словник. - гол. ред. Ю. В. Прохоров. - М: «Велика російська енциклопедія», 1995.
• Клейн Ф.Загальне поняття функції - ru.wikisource.org/wiki/Елементарна_математика_з точки зору_вищої/Загальне_поняття_функції. У кн.: Елементарна математика з погляду вищої. Т.1. М.-Л., 1933

1. І. А. Лавров, Л. Л. Максимова.Частина I. Теорія множин // Завдання з теорії множин, математичної логіки та теорії алгоритмів. - 3-тє вид. . – М.: Фізматліт, 1995. – С. 13 – 21. – 256 с. - ISBN 5-02-014844-X
2. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомін.Глава 1.. Елементи теорії множин // Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. - 3-тє вид. . – М.: Наука, 1972. – С. 14 – 18. – 256 с.
3. Дж. Л. КелліГлава 0. Попередні відомості// Загальна топологія. - 2-ге вид. . – М.: Наука, 1981. – С. 19 – 27. – 423 с.
4. В. А. ЗоричГлава I. Деякі загальноматематичні поняття та позначення. § 3. Фунція // Математичний аналіз, частина І. – М, .
   Текст доступний за ліцензією Creative Commons Attribution-ShareAlike .

Інформація завжди мала адекватний динамічний інтерес. Розвиток мов програмування, реляційних баз даних та інформаційних технологій кардинально змінив зміст та структуру інтересу. Склалася певна сувора система уявлень. Формалізація, точна математика та бінарні відносини стали успішною і, стрімко розвивається, областю знань та досвіду.

Природний світ інформації не змінив своєї динаміки і, розвиваючи зміст та структуру, піднявся на нову висоту. Він має плавні форми, і в природі немає нічого «прямокутного». Інформація, безумовно, піддається формалізації, але в неї є динаміка, змінюються не лише дані та алгоритми їх обробки, змінюються самі завдання та сфери їх застосування.

Інформація > формалізація >> дані

Інформація перетворюється на інформаційна структура, база даних…) так, як це бачить програміст. Немає жодної гарантії, що це бачення правильно, але якщо його програма вирішує поставлене завдання, то дані були представлені можливо належним чином.

Питання, наскільки була правильно формалізована інформація - питання часу. Досі поняття динаміки (самоадаптації до змінних умов використання) - тільки мрія програмування.

Функціональна залежність: «правильне рішення = програма (програміст)» і умова: «безперервне відповідність задачі» дійсні здебільшого, але спільно. Але це та математична основа, яка застосовується під час створення баз даних.

Пряме твердження: природна і безперервна динаміка інформації та алгоритмів вирішення завдань дійсно завжди. А це бінарні стосунки + строга математика + точні формальні конструкції, ...

та бази даних

Як зберігаються дані вже давно неважливо: чи то оперативна пам'ять, чи зовнішній пристрій. Апаратна складова досягла впевнених темпів розвитку та забезпечує гарну якість у великих обсягах.

Основні варіанти зберігання, що відрізняються варіантами використання даних:

• файли;
• бази даних.

Перше віддано на відкуп програмісту (що записувати, у якому форматі, як це робити, як читати…), друге одразу приносить необхідність пізнання простої функціональної залежності.

Швидкість вибірки та запису інформації під час роботи з файлами (розумного розміру, а чи не астрономічного) дуже швидка, а швидкість аналогічних операцій із базою даних може бути помітно повільної.

Особистий досвід та колективний розум

В історії були спроби вийти за досягнуті межі, але досі панують реляційні бази даних. Накопичено великий теоретичний потенціал, практика застосування велика, а розробники - висококваліфіковані.

Поняття функціональної залежності розробники баз даних нав'язують програмісту, навіть якщо той не має наміру використовувати багатий математично-логічний досвід побудови складних інформаційних структур, процесів роботи з ними, вибірки та запису інформації.

Навіть у найпростішому випадку програміст залежить від логіки бази даних, хоч би яку він вибрав для роботи. Немає бажання дотримуватися канонів, можна використовувати файли, вийде багато файлів і багато особистого досвіду. Буде витрачено багато особистого часу та завдання буде вирішено за тривалий час.

Якими б складними не здавалися приклади функціональної залежності, зовсім не обов'язково поринати в глибини сенсу та логіки. Часто слід визнати, що колективний розум зумів створити відмінні бази даних, різного розміру та функціональності:

• солідний Oracle;
• вимогливий MS SQL Server;
• популярний MySQL

Прекрасні з гарною репутацією, зручні у використанні, швидкі у вмілих руках. Їх застосування заощаджує час і позбавляє необхідності писати чергові простирадла допоміжного коду.

Особливості програмування та даних

У програмування з давніх-давен хвороба щось постійно переписувати, повторювати працю попередників, щоб якось щось адаптувати до інформації, що змінилася, завдання або умовами її використання.

Особливість функціональної залежності в тому, що як і в програмуванні, помилка може коштувати дуже дорого. Завдання рідко буває просте. Зазвичай, під час формалізації інформації, виходить складне представлення даних. Зазвичай виділяються їх елементи, потім вони ув'язуються ключами певні відносини, потім налагоджуються алгоритми формування таблиць, запити, алгоритми вибірки інформації.

Найчастіше велике значення має прив'язка до кодування. Не всі бази даних пропонують мобільні рішення, часто можна зіткнутися з тим, як чудово налаштований MySQL, на якому лежить десяток баз даних, що відмінно і стабільно працює, змушує розробника робити одинадцяту базу подібною до тих, які вже є.

Трапляються випадки, коли загальний хостинг обмежує функціональність PHP і це накладає відбиток на програмування доступу до бази даних.

У сучасному програмуванні відповідальність за алгоритм програми еквівалентна відповідальності за створення моделі даних. Все має працювати, але не завжди слід занурюватися в нетрі теорії.

БД: проста залежність у даних

Насамперед, поняття БД - і база даних як система управління (наприклад, MySQL), і якась інформаційна структура, відбиває дані завдання та зв'язку з-поміж них. Одна база MySQL «тримає» на собі скільки завгодно інформаційних структур з різних сфер застосування. Одна база Oracle, може забезпечувати інформаційні процеси великої компанії або банку, контролювати питання безпеки та збереження даних на найвищому рівні, розташовуючись на багатьох комп'ютерах, що знаходяться на різному видаленні, в різних інструментальних середовищах.

Вважають, що ставлення є основне в реляційній моделі. Елементарне відношення – це безліч колонок з іменами та рядків зі значеннями. Класичний «прямокутник»(таблиця) - просте та ефективне досягненняпрогресу. Складності та функціональна залежність бази даних починаються, коли «прямокутники»починають вступати у стосунки один з одним.

Ім'я кожної колонки у кожній таблиці має бути унікальним у контексті завдання. Те саме це не може бути в двох таблицях. Знати зміст понять:

• "визначити сутності";
• "виключити надмірність";
• "зафіксувати взаємозв'язки";
• "забезпечити достовірність".

Елементарна необхідність для використання бази даних та побудови моделі даних для конкретного завдання.

Порушення будь-якого з цих понять - низька ефективність алгоритму, повільна вибірка даних, втрата даних та інші неприємності.

Функціональна залежність: логіка та сенс

Можна не читати про кортежі відносин, про те, що функція - це відповідність безлічі аргументів безлічі значень, а функція - це не тільки формула або графік, але може бути задана безліччю значень - таблицею.

Не обов'язково, але зовсім не завадить представляти функціональну залежність як:

F(x1, x2, …, xN) = (y1, y2, …, yN).

Але обов'язково розуміти, що на вході - таблиця, на виході також таблиця або конкретне рішення. Зазвичай функціональна залежність встановлює логіку відносин між таблицями, запитами, привілеями, тригерами, процедурами, що зберігаються, та іншими моментами (компонентами) бази даних.

Зазвичай, таблиці перетворюються одна на одну, потім у результат. Але використання функціональної залежності не обмежується лише такою ідеєю. Програміст сам будує своє уявлення картини даних, інформаційної структури… погано, як іменувати, але якщо вона працює на конкретній базі даних, воно має будуватися за її логікою, враховувати її зміст і діалект використовуваної мови, як правило, SQL.

Можна стверджувати, що властивості функціональних залежностей бази даних доступні через діалект мови SQL, що використовується. Але набагато важливіше розуміти: після всіх перипетій розвитку, не так багато баз даних вижило, але діалектів цієї мови багато і особливостей внутрішніх конструкцій у базах теж.

Про старе добро Excel

Коли комп'ютер показав себе з позитивного боку, світ одразу розділився на програмістів та користувачів. Як правило, перші використовують:

• PHP, Perl, JavaScript, C ++, Delphi.
• MySQL, Oracle, Visual FoxPro.

• Word.
• Excel.

Деякі користувачі примудрюють робити самостійно (без допомоги програмістів) Word бази даних - реальний нонсенс.

Досвід роботи користувачів в Excel зі створення баз даних – практичний та цікавий. Важливо те, що Excel, сам собою, функціональний, барвистий і практичний.

Таблична ідея визначила поняття функціональної залежності наочно і доступно, але нюанси є у кожної бази даних. Кожна має своє «обличчя», але все від Excel до Oracle маніпулює простими квадратами, тобто таблицями.

Якщо врахувати, що Excel - це зовсім не база даних, але багато користувачів (не програмісти) його саме так використовують, а Oracle - це найскладніше і наймогутніше досягнення великого колективу розробників саме в області баз даних, то стає природним визнати - база даних це уявлення конкретного програміста (колективу) про конкретне завдання та її вирішення.

Що таке функціональна залежність, із чим, куди, чому… очевидно лише автору чи колективу таких.

Про те, куди реляційні відносини йдуть

Науково-технічний прогрес – дуже болісна процедура, а місцями жорстока. Якщо згадати з чого починалися бази даних, що таке *.dbf, як таврували кібернетику, потім полюбили інформатику і стали влаштовувати перешкоди переміщенню високих технологійна рівні країн, стає зрозуміло чому реляційні бази даних такі живі і хороші. Чому класичний стиль програмування досі живе, а об'єктно-орієнтоване програмування просто цінується, але ще не панує.

Якою б не була прекрасна функціональна залежність у контексті математики:

Це не бінарні відносини, точніше, це привід переосмислити ідею встановлювати відносини між безліччю атрибутів, дослідити зв'язки «один до багатьох», «багато до одного», «багато хто до багатьох» або «багато хто взагалі, а одні зокрема».

Варіантів відносин можна вигадати безліч. Це математика з логікою і вона сувора! Інформація – це своя математика, особлива. У ній про формальність можна говорити лише з дуже великим мінусом.

Можна формалізувати роботу відділу кадрів, написати АСУ для видобутку нафти або виробництва молока, хліба, зробити вибірку у величезній базі гугла, яндексу чи рамблеру, але результат буде завжди статичним і кожен момент часу однаковий!

Якщо функціональна залежність = строга логіка і математика = основа для баз даних, про яку динаміку можна вести речь. Будь-яке рішення буде формальним, будь-яка формальна модель даних + строгий алгоритм = точне та однозначне рішення. Інформація та сфера застосування будь-якої програми змінюються завжди.

Вибірка пошукової системи на одній і тій же пошуковій фразі не може бути однією і тією ж через годину або через дві і, однозначно, через день - якщо пошукова фраза відноситься до галузі інформації, в якій кількість сайтів, ресурсів, знань, інших елементів постійно змінюється .

Навіть якщо програма чисто математична та її база даних навіть не думає про динаміку, всі завжди є рядки. А рядок має довжину. І нескінченною вона не може бути. Вона не може бути навіть змінною, лише умовно-змінною. Окрім іншого, будь-яка база даних своїм математичним та бінарно-бюрократичним апаратом накладає масу формальностей, а це швидкість+якість вибірки та обробки інформації.

А якщо ті чи інші поля в базі даних числа, особливо речові, то в обмеження додадуться: розрядність числа, наявність літери "е", формату подання - коротше скрізь і завжди маємо важливі властивості функціональних залежностей бази даних:рядки умовно-змінної довжини з масою бінарних формальностей та суворих математичних обмежень.

Якщо змінити тон і прислухатися до пульсу динаміки, все можна розписати на об'єкти. У першому наближенні ім'я колонки в таблиці – це об'єкт, список імен – теж об'єкт, коротше таблиця – це об'єкт шапки та в ньому імена колонок у шапці. І шапки може зовсім не бути...

Але у таблиці можуть бути рядки. І у рядку можуть бути значення. І чому їх завжди має бути однакова кількість? Повна квадратна таблиця- це частковість, причому у більшості випадків, приватна.

Якщо уявити всі конструкції в базі даних об'єктами, то, можливо, не доведеться вибудовувати суворі бінарні відносини. У цьому є природний і реальний сенс хоча б тому, що це за об'єктивною (однозначно не математичною) логікою відображає динаміку інформації та середовища, в якому існують завдання.